hình vẽ
a, ta có BC là đường kính (O) (gt) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAC}=90^o\\\widehat{BDC}=90^o\end{matrix}\right.\)(góc nội tiếp chắn nửa đương tròn)
Xét tứ giác AGDI có
\(\widehat{GAD}=90^o\left(cmt\right)\)
\(\widehat{GDI}=90^o\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\) AIDG nội tiếp đường tròn
b, Xét \(\Delta BAC\) vuông tại A có AE là đường cao
\(\Rightarrow AB^2=BE.BC\left(1\right)\)
Xét \(\Delta BAI\) vuông tại A có AH là đường cao (gt)
\(\Rightarrow BA^2=BH.BI\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow BE.BC=BH.BI\)
c, \(\widehat{AFB}=\widehat{ACD}\) (góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{AD}\))
\(\Rightarrow\Delta EFK\text{ᔕ}\Delta ACG\left(g.g\right)\Rightarrow\widehat{EKF}=\widehat{AGC}\)
ta chứng minh được \(\widehat{AKE}=\widehat{EKF}\Rightarrow\widehat{AGC}=\widehat{AKB}\Rightarrow\) AGCK nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{GKC}=\widehat{GAC}=90^o\)
ta có \(\left\{I\right\}=AC\cap BD\) mà AC và BD là đường cao \(\Delta BGC\)
\(\Rightarrow I\) là trọng tâm mà \(\widehat{GKC}=90^o\left(cmt\right)\Rightarrow G,I,K\) thẳng hàng
