Câu b còn cách khác là ứng dụng câu a
\(\sqrt{2(a+b)}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}\Rightarrow \sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}\)
Tương tự:
\(\sqrt{b+c}\geq \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2}}; \sqrt{c+a}\geq \frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{2}}\)
Cộng theo vế các BĐT trên:
\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq \frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{\sqrt{2}}=\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\)
(đpcm)
Lời giải:
a.
BĐT $\Leftrightarrow 2(a+b)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$
$\Leftrightarrow 2(a+b)\geq a+b+2\sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\geq 0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b\geq 0$
Vậy ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
b.
BĐT $\Leftrightarrow 2(a+b+c)+2\sqrt{(a+b)(a+c)}+2\sqrt{(b+c)(b+a)}+2\sqrt{(c+a)(c+b)}\geq 2(a+b+c)+4\sqrt{ab}+4\sqrt{bc}+4\sqrt{ac}$
$\Leftrightarrow \sqrt{(b+c)(b+a)}+\sqrt{(c+a)(c+b)}+\sqrt{(c+a)(c+b)}\geq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})(*)$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(b+c)(b+a)\geq (\sqrt{ba}+\sqrt{bc})^2$
$\Rightarrow \sqrt{(b+c)(b+a)}\geq \sqrt{ba}+\sqrt{bc}$
Tương tự: $\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}$
$\sqrt{(c+a)(c+b)}\geq \sqrt{ca}+\sqrt{cb}$
Cộng các BĐT trên lại ta thấy $(*)$ đúng
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
