Ôn tập chương III

Giải:

Ta có:

Do \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{5}\Leftrightarrow a>5\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(0< a< b\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)

Hay \(\dfrac{2}{a}>\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{2}{a}>\dfrac{2}{10}\Leftrightarrow a< 10\left(2\right)\)

Kết hợp \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Leftrightarrow a\in\left\{6;7;8;9\right\}\)

- Với \(a=6\) thì \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{30}\Leftrightarrow b=30\)

- Với \(a=7\) thì \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{2}{35}\Leftrightarrow b=17,5\) (loại)

- Với \(a=8\) thì \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{40}\Leftrightarrow b\approx13,3\) (loại)

- Với \(a=9\) thì \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{4}{45}\Leftrightarrow b=11,25\) (loại)

Vậy chỉ có 1 cách viết là \(\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{30}\)

Gọi tỉ số giữa \(\overline{ab}\) và a + b là k, ta có:

k = \(\dfrac{\overline{ab}}{a+b}=\dfrac{10a+b}{a+b}=1+\dfrac{9a}{a+b}=1+\dfrac{9}{1+\dfrac{b}{a}}\)

Để k lớn nhất thì \(\dfrac{9}{1+\dfrac{b}{a}}\) lớn nhất => \(1+\dfrac{b}{a}\) nhỏ nhất => \(\dfrac{b}{a}\) nhỏ nhất => b = 0 và a là số tự nhiên bất kì từ 1 đến 9

không thể tìm được