Bài 3: Hàm số liên tục

Xét tính liên tục của các hàm số sau :

a) \(f\left(x\right)=\sqrt{x+5}\) tại \(x=4\)

b) \(g\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-1}{\sqrt{2-x}-1},\left(x< 1\right)\\-2x,\left(x\ge1\right)\end{matrix}\right.\) tại \(x=1\)

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :

a) \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2-2}{x-\sqrt{2}};\left(x\ne\sqrt{2}\right)\\2\sqrt{2};\left(x=\sqrt{2}\right)\end{matrix}\right.\)

b) \(g\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1-x}{\left(x-2\right)^2};\left(x\ne2\right)\\3;\left(x=2\right)\end{matrix}\right.\)

Tìm giá trị của tham số m để hàm số :

          \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2-x-2}{x-2};\left(x\ne2\right)\\m;\left(x=2\right)\end{matrix}\right.\) liên tục tại \(x=2\)

Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^2-1};\left(x\ne1\right)\\m^2;\left(x=1\right)\end{matrix}\right.\) liên tục trên \(\left(0;+\infty\right)\) ?

Chứng minh phương trình :

a) \(x^2-3x-7=0\) luôn có nghiệm

b) \(\cos2x=2\sin x-2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left(-\dfrac{\pi}{6};\pi\right)\)

c) \(\sqrt{x^3+6x+1}-2=0\) có nghiệm dương

Phương trình \(x^4-3x^3+1=0\) có nghiệm hay không trong khoảng (-1; 3) ?

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

a) \(\left(1-m^2\right)\left(x+1\right)^3+x^2-x-3=0\)

b) \(m\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=2\sin5x+1\)

Chứng minh phương trình :

\(x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n=0\) luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu \(f\left(a\right).f\left(b\right)>0\) thì phương trình \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm hay không trong khoảng (a;b) ? Cho ví dụ minh họa ?

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu \(f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\) thì phương trình \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm hay không trong khoảng (a;b) ? Cho ví dụ minh họa ?