Xác định giá trị của b để hàm số \(f\left(x\right)=\sin x-bx+c\) nghịch biến trên toàn trục số ?
Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(y=\dfrac{3x+1}{1-x}\)
b) \(y=\dfrac{x^2-2x}{1-x}\)
c) \(y=\sqrt{x^2-x-20}\)
d) \(y=\dfrac{2x}{x^2-9}\)
a) Tập xác định : D = R { 1 }.
> 0, ∀x
1.
Hàm số đồng biến trên các khoảng : (-∞ ; 1), (1 ; +∞).
b) Tập xác định : D = R { 1 }.
< 0, ∀x
1.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng : (-∞ ; 1), (1 ; +∞).
c) Tập xác định : D = (-∞ ; -4] ∪ [5 ; +∞).
∀x ∈ (-∞ ; -4] ∪ [5 ; +∞).
Với x ∈ (-∞ ; -4) thì y’ < 0; với x ∈ (5 ; +∞) thì y’ > 0. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞ ; -4) và đồng biến trên khoảng (5 ; +∞).
d) Tập xác định : D = R { -3 ; 3 }.
< 0, ∀x
±3.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng : (-∞ ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +∞).
Trả lời bởi qwertyChứng minh rằng hàm số \(y=\dfrac{x^2}{x^2+1}\) đồng biến trên khoảng (-1 ; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1) và (1 ; +∞).
Tập xác định : D = R. y' = 
=> y' = 0 ⇔ x=-1 hoặc x=1.
Bảng biến thiên :
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1 ; 1); nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1), (1 ; +∞).
Trả lời bởi qwertyChứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{2x-x^2}\) đồng biến trên khoảng (0 ; 1) và nghịch biến trên các khoảng (1 ; 2).
Tập xác định : D = [0 ; 2]; y' = , ∀x ∈ (0 ; 2); y' = 0 ⇔ x = 1.
Bảng biến thiên :
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 1) và nghịch biến trên khoảng (1 ; 2).
Trả lời bởi qwertyChứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(tanx > x (0 < x < \dfrac{\pi}{2})\)
b) \(tanx > x + \dfrac{x^3}{3} (0 < x < \dfrac{\pi}{2})\)
a) Xét hàm số y = f(x) = tanx – x với x ∈ [0 ; ).
Ta có : y’ = - 1 ≥ 0, x ∈ [0 ;
); y’ = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ;
).
Từ đó ∀x ∈ (0 ; ) thì f(x) > f(0) ⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0 hay tanx > x.
b) Xét hàm số y = g(x) = tanx – x - . với x ∈ [0 ;
).
Ta có : y’ = - 1 - x2 = 1 + tan2x - 1 - x2 = tan2x - x2
= (tanx - x)(tanx + x), ∀x ∈ [0 ; ).
Vì ∀x ∈ [0 ; ) nên tanx + x ≥ 0 và tanx - x >0 (theo câu a).
Do đó y' ≥ 0, ∀x ∈ [0 ; ).
Dễ thấy y' = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ; ). Từ đó : ∀x ∈ [0 ;
) thì g(x) > g(0) ⇔ tanx – x -
> tan0 - 0 - 0 = 0 hay tanx > x +
.
Ta có: \(f'\left(x\right)=\cos x-b\)
Để hàm số nghịch biến trên toàn trục số thì:
\(f'\left(x\right)=\cos x-b\le0,\forall x\)
\(\Leftrightarrow\cos x\le b,\forall x\)
\(\Leftrightarrow1\le b\)
Vậy điều kiện của b là \(b\ge1\)
Trả lời bởi Giáo viên Toán