a) \(\left\{{}\begin{matrix}S=2m+1\\P=2m\end{matrix}\right.\) \(\)\(\Rightarrow\) 2 nghiệm của phương trình là \(2m;1\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}S=m+n\\P=mn\end{matrix}\right.\Rightarrow\) 2 nghiệm của phương trình là \(m;n\)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}a=2m-3\\b=-2m\\c=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b+c=0\Rightarrow\) 2 nghiệm của phương trình là \(1;\dfrac{3}{2m-3}\)

d) \(a-b+c=m+2-2m+m-2=0\Rightarrow\) 2 nghiệm của phương trình là \(-1;\dfrac{2-m}{m+2}\)

\(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=2+4t\\y=-1+3t\end{matrix}\right.\)

a) Véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(4;3\right)\)

\(\left(2;-1\right)\in\left(d\right)\)

b) \(x=-2\Rightarrow2+4t=-2\Rightarrow t=1\Rightarrow y=-1+3.1=2\)

\(\Rightarrow K\left(-2;2\right)\in\left(d\right)\)

c) \(M\left(-1;3\right)\Rightarrow2+4t=-1\Rightarrow t=-\dfrac{3}{4}\Rightarrow y=-1+3.\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{13}{4}\ne3\)

\(\Rightarrow M\left(-1;3\right)\notin\left(d\right)\)

\(N\left(4;\dfrac{1}{2}\right)\Rightarrow2+4t=4\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=-1+3.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\left(đúng\right)\)

\(\Rightarrow N\left(4;\dfrac{1}{2}\right)\in\left(d\right)\)

\(P\left(-2;5\right)\Rightarrow2+4t=-2\Rightarrow t=-1\Rightarrow y=-1+3.\left(-1\right)=-4\ne5\)

\(\Rightarrow P\left(-2;5\right)\notin\left(d\right)\)

\(Q\left(-6;-7\right)\Rightarrow2+4t=-6\Rightarrow t=-2\Rightarrow y=-1+3.\left(-2\right)=-7\left(đúng\right)\)

\(\Rightarrow Q\left(-6;-7\right)\in\left(d\right)\)

\(I\left(0;-\dfrac{5}{2}\right)\Rightarrow2+4t=0\Rightarrow t=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=-1+3.\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{7}{2}\ne-\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow I\left(0;-\dfrac{5}{2}\right)\notin\left(d\right)\)

d) \(\left(d\right)\cap\left(Ox\right)=A\left(x;0\right)\Rightarrow-1+3t=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=2+4.\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{10}{3};0\right)\)

\(\left(d\right)\cap\left(Oy\right)=B\left(0;y\right)\Rightarrow2+4t=0\Rightarrow t=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=-1+3.\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow B\left(0;-\dfrac{5}{2}\right)\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{\left(0-\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{2}-0\right)^2}=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{4}}=\dfrac{5}{6}\)

a) Phương trình tham số của \(\left(\Delta\right)\) qua \(M\left(1;2\right)\) và có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left(-1;3\right)\)

\(\left(\Delta\right):\left\{{}\begin{matrix}x=1-t\\y=2+3t\end{matrix}\right.\) \(\left(t\in R\right)\)

b) \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;4\right)\)

\(\Rightarrow\left(\Delta\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-2-t\\y=1+4t\end{matrix}\right.\) \(\left(t\in R\right)\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow yz+xz+xy=0\left(x;y;z\ne0\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\left(a=yz;b=xz;c=xy\right)\left(1\right)\)

Ta có : \(A=\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=\dfrac{\left(yz\right)^3+\left(xz\right)^3+\left(xy\right)^3}{\left(xyz\right)^2}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}\)

Ta lại có hệ quả của hằng đẳng thức (tự chứng minh) \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\) (do \(\left(1\right)\))

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}=3\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=3\)

Câu 3 : \(\overline{x}=\dfrac{\sum f_i.x_i}{\sum f_i}=5,8\Rightarrow\) Chọn A

Câu 4 : Chọn D

Câu 5 : tần số \(f_i\) lớn nhất là \(13\), tương ứng với nhóm \([5;6,5)\Rightarrow\) Chọn B

Câu 6 : \(\overline{x}=5,8\Rightarrow\) số trung bình mẫu gần nhất là \(7,34\Rightarrow\) Chọn A

Câu 7 : Trung vị là \(\dfrac{45}{2}=22,5\approx23\), nằm trong khoảng \([5;6,5)\), xem lại đáp án

Câu 8 : Chọn A

Câu 9 : Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1=\dfrac{45}{4}=11,25\Rightarrow\) \(Q_1\) sẽ là điểm trung bình của học sinh thứ \(11;12\Rightarrow\) Cả hai học sinh này đều thuộc nhóm "Yếu" \(\Rightarrow\) \(Q_1\) sẽ gần với trung điểm của khoảng \([3;5)\) \(\Rightarrow\) Chọn A

Bài 1 :

a) \(\Delta'=\left(m-1\right)^2+m+3=m^2-m+4>0,\forall m\left(\Delta_m=1-16=-15< 0;a=1>0\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

b) Để phương trình cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow P=-3-m< 0\)

\(\Leftrightarrow m>-3\)

c) Để phương trình có 2 nghiệm cùng âm khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0,\forall m\\S=2\left(m-1\right)< 0\\P=-3-m>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\m>-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-3< m< 1\) thỏa mãn đề bài

Bài 2 :

a) phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow\Delta'=1-\left(m-1\right)\ge0\Leftrightarrow m\le2\left(1\right)\)

b) phương trình có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=2-m\ge0\\S=2>0\\P=m-1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow1\le m\le2\)

Khi đó 2 nghiệm mang dấu dương vì \(S=2>0\)

c) phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow P=m-1\le0\Leftrightarrow m\le1\)

d) \(x_1^2+x_2^2=5\)

\(\Leftrightarrow S^2-2P=5\)

\(\Leftrightarrow4-2\left(m-1\right)=5\)

\(\Leftrightarrow2m=1\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\) thỏa \(\left(1\right)\)

Vậy \(m=\dfrac{1}{2}\) thỏa đề bài

Giai đoạn \(1:\) (chèo thuyền từ \(A\rightarrow M\)):

\(AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{16+x^2}\left(km\right)\)

Thời gian chèo thuyền \(t_1=\dfrac{\sqrt{16+x^2}}{6}\left(h\right)\)

Giai đoạn \(2:\) (đi xe đạp từ \(M\rightarrow C\)) :

\(MC=7-x\left(km\right)\) 

Thời gian đi xe đạp \(t_2=\dfrac{7-x}{10}\left(h\right)\)

Tổng thời gian đi từ \(A\rightarrow C:t\left(x\right)=t_1+t_2=\dfrac{\sqrt{16+x^2}}{6}+\dfrac{7-x}{10}\)

\(t'\left(x\right)=\dfrac{x}{6\sqrt{16+x^2}}-\dfrac{1}{10}\)

\(t'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\dfrac{x}{6\sqrt{16+x^2}}=\dfrac{1}{10}\Leftrightarrow x=3\)

Lập BBT hàm số \(t\left(x\right)\) đạt cực tiểu tại \(x=3\)

Vậy khoảng cách từ \(M\rightarrow C\) để người đó đi từ \(A\rightarrow C\) nhanh nhất là \(x=MC=3\left(km\right)\)

\(\left|x-199\right|^{200}+\left|x-200\right|^{201}=1\left(1\right)\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-199\right|^{200}\ge0\\\left|x-200\right|^{201}\ge0\end{matrix}\right.\) nên ta có :

\(TH1:\left\{{}\begin{matrix}\left|x-199\right|^{200}=1\\\left|x-200\right|^{201}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x-200=0\Rightarrow x=200\) thỏa \(\left(1\right)\)

\(TH2:\left\{{}\begin{matrix}\left|x-199\right|^{200}=0\\\left|x-200\right|^{201}=1\end{matrix}\right.\Rightarrow x-199=0\Rightarrow x=199\) thỏa \(\left(1\right)\)

Vậy \(x\in\left\{199;200\right\}\)

Câu 2 :

\(5^b=2\Rightarrow log5^b=log2\Rightarrow log5=\dfrac{log2}{b}\)

\(log_59=\dfrac{log9}{log5}=\dfrac{a}{\dfrac{log2}{b}}=\dfrac{ab}{log2}\)

Câu 3 :

\(log_2\dfrac{245}{3}=log_2245-log_23=log_2\left(5.7^2\right)-log_23=log_25+2log_27-log_23\)

\(log_435=\dfrac{log_235}{log_24}=\dfrac{log_235}{2}=\dfrac{log_25+log_27}{2}\)

\(log_2\sqrt[3]{525}=\dfrac{1}{3}.log_2525=\dfrac{1}{3}.log_2\left(3.5.7^2\right)=\dfrac{1}{3}.\left(log_23+log_25+2log_27\right)\)

\(log_2\dfrac{245}{3}=xlog_435+y.log_2\sqrt[3]{525}\)

\(\Leftrightarrow log_25+2log_27-log_23=x.\dfrac{log_25+log_27}{2}+y.\dfrac{1}{3}.\left(log_23+log_25+2log_27\right)\)

\(\Leftrightarrow6log_25+12log_27-6log_23=3x.\left(log_25+log_27\right)+2y.\left(log_23+log_25+2log_27\right)\)

\(\Leftrightarrow6log_25+12log_27-6log_23=\left(3x+2y\right).log_25+\left(3x+4y\right).log_27+2y.log_23\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=6\\3x+4y=12\\2y=-6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x-y=4-\left(-3\right)=7\)