Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x\(^2\) . Xác định tọa độ các điểm A và B trên (P) để tam giác OAB đều.

Cho hai đường thẳng : (d\(_1\)): mx+(m-1)y-2m+1=0

(d\(_2\)): (1-m)x+my-4m+1=0

a, Tìm các điểm cố định mà (d\(_1\)), (d\(_2\)) luôn đi qua.

b, Tìm m để khoảng cách từ điểm P(0;4) đến đường thẳng (d\(_1\)) là lớn nhất .

c, Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm I. Tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi.

d, Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAB với A,B lần lượt là các điểm cố định mà (d\(_1\)), (d\(_2\)) đi qua

Tính tổng : S\(_1\) = \(1+3^2+5^2+7^2+....+97^2+99^2\)

S\(_2\) =\(2+4^2+6^2+8^2+.....+98^2+100^2\)

S\(_3\) = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+....+97.98.99

Tính tổng C=\(1-2^3+2^6-2^9+....+2^{96}-2^{99}\)

Tính tổng B= \(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{98}+3^{100}\)

Tính tổng A= \(1-2+2^2-2^3+2^4-2^5+....-2^{99}+2^{100}\)

Cho (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M thuộc à kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) ( C là tiếp điểm ) . Đường vuông góc với AB tại O cắt BC ở N.

a, Chứng minh: tứ giác OMNB là hình bình hành.

b, Trực tâm H của tam giác MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên Ax

Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính ABB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P. Chứng minh:

a, Tứ giác OMNP nội tiếp

b, Tứ giác CMPO là hình bình hành.

c, CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

d, Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào

Cho hai đường tròn (O;R) và (O' ;R') cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD, CE với đường tròn (O) (D,E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn (O')).Hai đường thẳng AD và AE cắt (O') lần lượt tại M và N (M,N khác với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng:

a, MI.BE=BI.AE

b, Khi điểm C thay đổi thì đường DE luôn đi qua một điểm cố định