Đổi 35 phút =7/12 giờ

Vận tốc của người đó là:

4:7/12=48/7 km/h

0;2;4;6;8;5

0;2;4;5;6;8

Ta có \(a^4+b^4-2ab^3-2a^3b+2a^2b^2\) =(a²-ab)²+(b²-ab)²\(\ge0\forall a;b\) suy ra

\(\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge ab^3+a^3b-a^2b^2\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Ta có A=\(4x^2-x+\dfrac{3}{4x}+2017\)=\(4x^2-4x+1+3x+\dfrac{3}{4x}+2016\)

=\(\left(2x-1\right)^2+3x+\dfrac{3}{4x}+2016\)\(\ge\) 2\(\sqrt{3x.\dfrac{3}{4x}}+2016\)=2019

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Gọi chiều rộng của hình chữ nhât là x(cm) (x>0)

Suy ra chiều dài của hình chữ nhật là 3x

Do chiều dài và rộng đều tăng 5 cm nên chiều dài và chiều rộng lúc này la 3x+5;x+5

Do hình chữ nhật mới có diện tich là 153 \(cm^2\) nên ta có phương trình:

(3x+5)(x+5)=153

\(\Leftrightarrow3x^2+20x+25=153\)

\(\Leftrightarrow3x^2+20x-128=0\)

Xét \(\Delta\)^'=10²-3.(-128)=484>0

suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x₁\(=\dfrac{-10+\sqrt{484}}{3}=4\) (thỏa mãn)

x_{2\(=\dfrac{-10-\sqrt{484}}{3}=\dfrac{-32}{3}\) (loại)}

_{suy ra chiều rộng của hình chữ nhật là 4cm}

suy ra chiều dài của hình chữ nhật là 12cm

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

\(S=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)\(=1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a}\)

\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)}\)\(\le\sqrt{3.2.\left(a+b+c\right)}=\sqrt{6}\)

Đẳng thức sảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Vậy maxS=\(\sqrt{6}\)\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Theo hệ thức Vi-ét a,b là nghiệm của phương trình:

x²-7x+12=0

\(\Delta=\left(-7\right)^2-4.1.12=1>0\)\(\Rightarrow\)phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\dfrac{-\left(-7\right)+\sqrt{1}}{2}=4\)

\(x_2=\dfrac{-\left(-7\right)-\sqrt{1}}{2}=3\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

2) Do \(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=2\\\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+1}=2-\left(\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)

=\(\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

\(\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\) \(\ge\)\(2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Tương tự ta được

\(\dfrac{1}{b+1}\ge2\sqrt{\dfrac{ca}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}\)

\(\dfrac{1}{c+1}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

Nhân vế theo vế của 3 BĐT cùng chiều ta được

\(\dfrac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)\(\ge\dfrac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

\(\Rightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\)

Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

Ta có K=\(\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\) =\(\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}\) =\(\dfrac{\sqrt{2}\left(2+\sqrt{3}\right)}{2+\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}\) =\(\dfrac{\sqrt{2}\left(2+\sqrt{3}\right)}{3+\sqrt{3}}\)

=\(\dfrac{\sqrt{2}\left(2+\sqrt{3}\right)\left(3-\sqrt{3}\right)}{\left(3+\sqrt{3}\right)\left(3-\sqrt{3}\right)}\) =\(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}\)

b)Do D thuộc nửa đường tròn (O^') nên ADO=90^o suy ra OD\(\perp\) AC

mà \(\Delta\) OAC cân tại O

suy ra OD là phân giác của AOC suy ra AOD=COD hay AOD=MOD

Do tứ giác AOMD nội tiếp nên DMA=DOA=DOM=DAM

suy ra \(\Delta\) ADM cân tại D

c) Xét \(\Delta\) ECO và \(\Delta\) EAO có:

EO chung

EOC=EOA

CO=AO

Suy ra \(\Delta\) ECO=\(\Delta\) EAO(c.g.c)

suy ra ECO=EAO=90^o

suy ra EA \(\perp\) OA và EA\(\perp\)O^'A

mà OA;O^'A là bán kính của đường tròn (O) và (O')

suy ra EA là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O) và (O')