1: Giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge1\).

BĐT cần cm tương đương \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\le7\).

Ta có \(\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{bc}\ge0\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}+1\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\);

\(\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{ab}\ge0\Leftrightarrow1+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\).

Từ đó ta chỉ cần chứng minh \(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\le\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow\left(a-2c\right)\left(2a-c\right)\le0\).

Dễ thấy \(a\le2\le2c;2a\ge2\ge c\) nên ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi chẳng hạn a = 2; b = c = 1.

Đặt d = (a, b, c, d) thì a = dx; b = dy; c = dz; d = dt với (x, y, z, t) = 1.

Dễ thấy x, y, z, t có tính chất giống như a, b, c, d.

Giả sử không tồn tại 3 số trong x, y, z, t bằng nhau. 

Gọi x là số lớn nhất thì x > 1. Nếu x có ước nguyên tố p khác 2 thì p lẻ. Ta thấy \(y^2+z^2⋮xt\Rightarrow y^2+z^2⋮p\). Tương tự \(z^2+t^2⋮p;t^2+y^2⋮p\Rightarrow y^2-z^2⋮p\Rightarrow2y^2⋮p\Rightarrow y⋮p\). Do đó \(x,z,t⋮p\), vô lí.

Do đó x chỉ có ước nguyên tố là 2. 

Nếu \(x=2^k\left(k>1\right)\) thì tương tự ta có \(2y^2⋮2^k\Rightarrow y⋮2\). Tương tự z, t chia hết cho 2 (vô lí)

Do đó x = 2.

Giả sử \(x\ge y\ge z\ge t\) thì y = 2; z = t = 1 (Do không có 3 số bằng nhau)

Thử lại ta thấy không thỏa mãn.

Vậy...

Gọi n số đó là \(a_1=\left(n+1\right)!+2;a_2=\left(n+1\right)!+3;...;a_n=\left(n+1\right)!+n\).

Khi đó \(a_k=\left(n+1\right)!+k+1\). (Với \(1\le k\le n\))

Dễ thấy \(k+1\le n+1\) nên \(\left(n+1\right)!⋮k+1\Rightarrow a_k⋮k+1\). Mà \(a_k>k+1\) nên \(a_k\) là hợp số.

Vậy...

Ta thấy |x| cùng tính chẵn, lẻ với x nên tổng S cùng tính chẵn, lẻ với tổng \(a_1-1+a_2-2+...+a_{100}-100=\left(1+2+...+100\right)-\left(1+2+...+100\right)=0\) là số chẵn. Suy ra S là số chẵn.

Tổng quát từ 100 số thành n số với n là số tự nhiên khác 0.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    int t,n,a[100001],s[100001],Max,sum,Min[100001],Max2;
    cin >> t;
    for (int i=1;i<=t;i++)
    {
        Max=INT_MIN;
        sum=0;
    cin >> n;
    s[0]=0;
    Min[0]=0;
    Max2=a[1];
    for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin >> a[i];
            s[i]=s[i-1]+a[i];
            if (a[i]>Max) Max=a[i];
            if (a[i]>0) sum+=a[i];
            Min[i]=min(Min[i-1],s[i]);
            Max2=max(Max2,s[i]-Min[i-1]);
        }
    if (sum==0) cout << Max;
    else cout << sum;
    cout << ' ' << Max2 << '\n';
    }
    return 0;

}

Áp dụng hàng đẳng thức \(\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\), từ giả thiết ta có:

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\).

Khi đó \(\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\). Không mất tính tổng quát, giả sử a + b = 0.

Do đó \(a^9+b^9+c^9=a^9+\left(-a\right)^9+c^9=c^9=\left(a+b+c\right)^9\).

BĐT chỉ đúng khi \(b\ge0\) (Dễ thấy nếu b < 0 thì -b > 0 > b, bđt sai)

a) PT \(\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)\left(x^2+y+1\right)=-20\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x^2\right)\left(y+x^2+1\right)=20\).

Do \(y-x^2< y+x^2+1\) và \(y-x^2\); \(y+x^2+1\) khác tính chẵn, lẻ nên ta có các trường hợp:

+) \(\left\{{}\begin{matrix}y-x^2=1\\y+x^2+1=20\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=10\\x^2=9\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=10\\x=\pm3\end{matrix}\right.\)

+) \(\left\{{}\begin{matrix}y-x^2=4\\y+x^2+1=5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=4\\x^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=4\\x=0\end{matrix}\right.\)

+) \(\left\{{}\begin{matrix}y-x^2=-20\\y+x^2+1=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-11\\x^2=9\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-11\\x=\pm3\end{matrix}\right.\)

+) \(\left\{{}\begin{matrix}y-x^2=-5\\y+x^2+1=-4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-5\\x^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-5\\x=0\end{matrix}\right.\)

Vậy....