Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left|z\right|=1\) và biểu thức \(P=\left|z^{2022}+\left(\overline{z}\right)^{2020}+9z\right|-4\left|z^{2021}+2\right|\). Gọi \(M,m\) là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\). Giá trị của \(M^2+m^2\) bằng?

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left(x;y\right)\) với \(x\le2020\) thỏa mãn điều kiện \(log_2\dfrac{x+2}{y+1}+x^2+4x=4y^2+8y+1\) ?

cho các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left|z\right|=4\) và \(\left|w\right|=5\). Khi \(\left|2x+w-9+12i\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left|z-w\right|\) bằng?

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(\widehat{BAC}=120^o\), \(AB=AC=a\). Tam giác \(SAB\) vuông tại \(B\), tam giác \(SAC\) vuông tại \(C\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left(SAB\right)\) và \(\left(ABC\right)\) bằng \(60^o\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) lên mặt phẳng \(\left(ABC\right)\). Chứng minh rằng \(HB\) vuông góc \(AB\) và tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\)

Cho hàm số \(y=\dfrac{-4x+12}{x+1}\) có đồ thị là \(\left(C\right)\), đường thẳng \(d:y=2x+m\). Chứng minh rằng \(d\) cắt \(\left(C\right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số \(m\)?

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left(S\right):\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=48\) và đường thẳng \(\left(d\right):\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{\sqrt{2}}\) . Điểm \(M\left(a;b;c\right)\left(a>0\right)\) nằm trên đường thẳng \(\left(d\right)\) sao cho từ \(M\) kẻ được 3 tiếp tuyến \(MA,MB,MC\) đến mặt cầu \(\left(S\right)\) thỏa mãn \(\widehat{AMB}=60^o,\widehat{BMC}=90^o,\widehat{CMA}=120^o\). Tính \(Q=a+b-c\)?

Cho hai số phức \(z_1,z_2\) thỏa mãn \(\left|z_1+3+2i\right|=1\) và \(\left|z_2+2-i\right|=1\). Xét các số phức \(z=a+bi\), (\(a,b\in R\)) thỏa mãn \(2a-b=0\). Khi biểu thức \(T=\left|z-z_1\right|+\left|z-2z_2\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị biểu thức \(P=a^2+b^2\) bằng?

Cho hàm số \(f\left(x\right)=e^{\sqrt{x^2+1}}\left(e^x-e^{-x}\right)\). Có bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn bất phương trình \(f\left(m-7\right)+f\left(\dfrac{12}{m+1}\right)< 0\) ?