Question

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left(x;y\right)\) với \(x\le2020\) thỏa mãn điều kiện \(log_2\dfrac{x+2}{y+1}+x^2+4x=4y^2+8y+1\) ?

Answer 1

Lời giải:
PT \(\Leftrightarrow \log_2(x+2)-\log_2(y+1)+(x+2)^2=4(y+1)^2+1\)

\(\Leftrightarrow \log_2(x+2)+(x+2)^2=(2y+2)^2+\log_2(y+1)+1=(2y+2)^2+\log_2(2y+2)\)

Xét $f(x)=\log_2(x)+x^2$ với $x>0$

$f'(x)=2x+\frac{1}{x\ln 2}>0$ với mọi $x>0$

Do đó hàm số luôn đồng biến trên $(0;+\infty)$

Suy ra để $f(x+2)=f(2y+2)\Leftrightarrow x+2=2y+2$

$\Leftrightarrow x=2y$

$x\leq 2020\Leftrightarrow y\leq 1010$

$y\leq 1010$ nên có $1010$ giá trị $y$ thỏa mãn 

Ứng với mỗi giá trị $y$ ta có 1 giá trị $x$ thỏa mãn 

Do đó có 1010 cặp $(x,y)$ thỏa mãn.

Answer 2

                                                                         AllesKlar                                                                                                         : cảm ơn bạn. Mình vừa xem lại và đã update lại lời giải.