Với những giá trị nào của \(a,b,c\) thì đồ thị hàm số \(y=ax^4+bx^2+c\) nhận \(A\left(0;-3\right)\) là điểm cực đại và \(B\left(-1;-5\right)\) là điểm cực tiểu?
\(a=2,b=-4,c=-3\). \(a=-3,b=-1,c=-5\). \(a=-2,b=4,c=-3\). \(a=2,b=4,c=-3\). Hướng dẫn giải:Cách 1: Mẹo:
Đồ thị đi qua \(A\left(0;-3\right)\) nên suy ra: \(-3=a.0^4+b.0^2+c\Rightarrow c=-3\).
Đồ thị đi qua \(B\left(-1;-5\right)\) nên suy ra: \(-5=a.\left(-1\right)^4+b.\left(-1\right)^2+c\Rightarrow a+b+c=-5\).
Chỉ có đáp án \(a=2,b=-4,c=-3\) thỏa mãn 2 điều kiện trên.
Cách 2: Giải đầy đủ
Nếu \(a=0\) thì hàm số là bậc hai nên chỉ có \(1\) điểm cực đại hoặc \(1\) điểm cực tiểu, không thỏa mãn.
Vậy \(a\ne0\), ta có:
\(y'=4ax^3+2bx=2x\left(2ax^2+b\right)\)
Để \(y\) có cực đại và cực tiểu thì phương trình \(2ax^2+b=0\) có hai nghiệm khác \(0\), suy ra \(2x^2=-\dfrac{b}{a}\) có nghiệm khác 0, hay \(a\) và \(b\) đều khác 0 và trái dấu nhau.
Khi đó \(y'\) có ba nghiệm phân biệt \(x_1=-\sqrt{-\frac{b}{2a}};0;x_2=\sqrt{-\frac{b}{2a}}\)
và bảng biến thiên có một trong hai dạng:
- Nếu \(a>0\) thì
- Nếu \(a< 0\) thì
Theo bài ra \(A\left(0;-3\right)\) là điểm cực đại nên hệ số \(a>0\) .
Suy ra hàm số nhận giá trị bằng \(-3\) khi \(x=0\Rightarrow\) \(a.0^3+b.0^2+c=-3\Rightarrow c=-3\).
\(B\left(-1;-5\right)\) là một điểm cực tiểu suy ra:
\(\left\{\begin{matrix}-\sqrt{-\frac{b}{2a}}=-1\\a.\left(-1\right)^4+b.\left(-1\right)^2+c=-5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=1\\a+b-3=-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a=2\\b=-4\end{matrix}\right.\)
Vậy ta có: \(a=2,b=-4,c=-3\)
