Với giá trị nào của tham số \(m\) thì hàm số \(y=x^3-3x+1-m\) có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu?
\(\forall m\in\mathbb{R}\). \(m< -1;m>3\). \(m\in\left\{-1;3\right\}\). \(-1< m< 3\). Hướng dẫn giải:\(y'=3x^2-3=3\left(x^2-1\right)\)
\(y'\) có hai nghiệm là \(x_1=1,x_2=-1\) nên $y$ có hai giá trị cực đại và cực tiểu. Giá trị của \(y\) tại các điểm cực đại và cực tiểu là:
\(y\left(-1\right)=\left(-1\right)^3-3.\left(-1\right)+1-m=3-m\)
\(y\left(1\right)=1^3-3.1+1-m=-1-m\)
Để hai giá trị này trái dấu thì:
\(\left(3-m\right)\left(-1-m\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(3-m\right)\left(1+m\right)>0\)
\(-1< m< 3\)
