Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số \(y=x^3+2mx^2+3\left(m-1\right)x+2\) cắt đường thẳng \(y=2-x\) tại ba điểm phân biệt A(0;2), \(B_1,B_2\) sao cho gốc toạ độ O và \(B_1,B_2\) là ba đỉnh của tam giác có diện tích bằng 2?
\(m=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\). \(m=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\). \(m=1,m=2\). \(m=0\). Hướng dẫn giải:Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
\(x^3+2mx^2+3\left(m-1\right)x+2=2-x\)
\(\Leftrightarrow x^3+2mx^2+\left(3m-2\right)x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left[x^2+2mx+3m-2\right]=0\)
Vậy \(B_1,B_2\) có hoành độ \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình \(x^2+2mx+3m-2=0\).
Xét tam giác \(OB_1B_2\) có một đáy là \(B_1B_2\) đều nằm trên đường thẳng \(y=2-x\) (vì nó là giao của đường thẳng này với hàm số bậc ba). Gọi chiều cao tương ứng với đáy \(B_1B_2\) là h thì h bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng \(y=2-x\) (tương đương \(x+y-2=0\)) và h bằng:
\(h=kc\left(O,x+y-2=0\right)=\frac{\left|0+0-2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\).
Khoảng cách giữa \(B_1\left(x_1;2-x_1\right)\) và \(B_1\left(x_2;2-x_2\right)\) là:
\(B_1B_2=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(2-x_2-2+x_1\right)^2}=\sqrt{2}\left|x_1-x_2\right|\)
Theo yêu cầu bài ra:
\(\frac{1}{2}B_1B_2.h=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\sqrt{2}\left|x_1-x_2\right|.\sqrt{2}=2\)
\(\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)
Theo Vi-et với hai nghiệm \(x_1,x_2\) của phương trình \(x^2+2mx+3m-2=0\) thì đẳng thức trên tương đương với:
\(\left\{\begin{matrix}\left(-2m\right)^2-4\left(3m-2\right)=4\\\Delta'=m^2-3m+2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\).
