Với điều kiện nào của $m$ thì đường thẳng \(y=x+m\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2x}{x+1}\) tại hai điểm phân biệt?
\(m\in\left(-\infty;3-3\sqrt{2}\right)\cup\left(3+3\sqrt{2};+\infty\right)\). \(m\in\left(-\infty;3-2\sqrt{2}\right)\cup\left(3+2\sqrt{2};+\infty\right)\). \(m\in\left(-\infty;1-2\sqrt{3}\right)\cup\left(1+2\sqrt{3};+\infty\right)\). \(m\in\left(-\infty;4-2\sqrt{2}\right)\cup\left(4+2\sqrt{2};+\infty\right)\). Hướng dẫn giải:Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình:
\(x+m=\frac{2x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(x+m\right)=2x\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x^2+\left(m-1\right)x+m=0\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)
Để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thì:
Phương trình \(x^2+\left(m-1\right)x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt và khác -1.
Hay là: \(\left\{\begin{matrix}\Delta=\left(m-1\right)^2-4m>0\\\left(-1\right)^2+\left(m-1\right).\left(-1\right)+m\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m^2-6m+1>0\\2\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}m< 3-\sqrt{8}\\m>3+\sqrt{8}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;3-2\sqrt{2}\right)\cup\left(3+2\sqrt{2};+\infty\right)\).
