Với các giá trị nào của \(m\), đồ thị hàm số \(y=-\left(x-1\right)^3+3m^2\left(x-1\right)-2\) có hai điểm cực trị cách đều gốc toạ độ?
\(m=\pm\dfrac{1}{2}\) \(m=\pm\dfrac{1}{3}\) \(m=5\) \(m=-5\) Hướng dẫn giải:\(y'=-3\left(x-1\right)^2+3m^2=-3\left(x-1-m\right)\left(x-1+m\right)\)
Hai điểm cực trị là:
- điểm \(A\) có toạ độ \(x=1+m,y=2m^3-2\) \(\Rightarrow A\left(1+m,2m^3-2\right)\).
- điểm \(B\) có toạ độ \(x=1-m,y=-2m^3-2\) \(\Rightarrow B\left(1-m,-2m^3-2\right)\).
Yêu cầu đề bài: \(OA^2=OB^2\)\(\Leftrightarrow\left(1+m\right)^2+\left(2m^3-2\right)^2=\left(1-m\right)^2+\left(-2m^3-2\right)^2\)\(\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{1}{2}\)
