Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) tạo với đường thẳng \(\left(\Delta\right):\left\{{}\begin{matrix}x=2+3t\\y=-2t\end{matrix}\right.\) một góc \(60^0\).
\(\left(d_1\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+(24-\sqrt{507})t\\y=2+t\end{matrix}\right.;\left(d_2\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+(24+\sqrt{507})t\\y=2+t\end{matrix}\right.\).\(\left(d_1\right);2x-y+4=0;\left(d_2\right):x-2y-3=0\).\(\left(d_1\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24-\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.;\left(d_2\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24+\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.\).\(\left(d_1\right);2x-y+4=0;\left(d_2\right):x+2y-3=0\).Hướng dẫn giải:Đường thẳng (d) qua A(-2;0) có phương trình tham số dạng \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+at\\y=2+bt\end{matrix}\right.\) (1) (với điều kiện \(a^2+b^2>0\)). Hai đường thẳng (d), \(\left(\Delta\right)\) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{v}\left(a;b\right)\) và \(\overrightarrow{u}\left(3;-2\right)\). Gọi \(\varphi\)là góc giữa hai đường thẳng (d) và \(\left(\Delta\right)\) thì
\(\cos\varphi=\dfrac{\left|a.3+b.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{\left|3a-2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{13}}\).
Hai đường thẳng tạo với nhau một góc \(60^0\) khi và chỉ khi \(\varphi=60^0\Leftrightarrow\cos\varphi=\cos60^0=\dfrac{1}{2}\), do đó
\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{\left|3a-2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{13}}\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{13}=\left|3a-2b\right|2\) \(\Leftrightarrow13\left(a^2+b^2\right)=4\left(3a-2b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow23a^2-48ba+3b^2=0\)
Xem phương trình trên là phương trình ẩn a, tham số b ta có \(\Delta'=\left(24b\right)^2-23.3b^2=507b^2\). Phương trình có hai nghiệm \(a=\dfrac{24b-\sqrt{507}b}{23};a=\dfrac{24b+\sqrt{507}b}{23}\).
Vậy có 2 đường thẳng tạo với đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) một góc \(60^0\), cụ thể là:
Vơi \(a=\dfrac{24b-\sqrt{507}b}{23}\) , chọn \(b=1\)thế vào (1) ta được \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24+\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.\)
Với \(a=\dfrac{24b+\sqrt{507}b}{23}\), chọn \(b=1\) thế vào (1) ta được \(\left(d_2\right):\dfrac{-b}{2}x+by+2.\left(-\dfrac{b}{2}\right)=0\Leftrightarrow x-2y+2=0\).
Đáp số: \(\left(d_1\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24-\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.;\left(d_2\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24+\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.\)
