Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{x^2-5x+6}\).
\(x=-3\) và \(x=-2\).\(x=-3\).\(x=3\) và \(x=2\).\(x=3\).Hướng dẫn giải:Mẫu số \(x^2-5x+6=0\) khi \(x=3;x=2\).
*)Với \(x=3\) thì tử số \(2x-1-\sqrt{x^2+x+3}=2.3-1-\sqrt{3^2+3+3}\ne0\) . Suy ra \(x=3\) là một tiệm cận đứng.
*) Với \(x=2\) thì tử số \(2x-1-\sqrt{x^2+x+3}=2.2-1-\sqrt{2^2+2+3}=0\). Ta tính giới hạn của \(y\) khi \(x\) tiến dần tới 2 như sau:
\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{x^2-5x+6}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\left[2x-1-\sqrt{x^2+x+3}\right]\left[2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right]}{\left(x^2-5x+6\right)\left[2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right]}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\left(2x-1\right)^2-\left(x^2+x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left[2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right]}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{3x^2-5x-2}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left[2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right]}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\left(3x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left[2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right]}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{3x+1}{\left(x-3\right)\left[2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right]}=\dfrac{3.2+1}{\left(2-3\right)\left[2.2-1+\sqrt{2^2+2+3}\right]}=-\dfrac{7}{6}\ne\infty\)
Vậy \(x=2\) không phải là tiệm cận đứng.
