Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y=2x^3+3\left(m-1\right)x^2+6\left(m-2\right)x-2017\) có hai điểm cực trị nằm trong khoảng \(\left(-5;5\right)\)?
\(m>-3\). \(m< 7\). \(-3< m< 7\). \(-3< m< 3;3< m< 7\). Hướng dẫn giải:\(y'=6x^2+6\left(m-1\right)x+6\left(m-2\right)\)
\(=6\left[x^2+\left(m-1\right)x+m-2\right]\)
Để y có hai điểm cực trị trong \(\left(-5;5\right)\) thì \(y'\) có hai nghiệm và cả hai nghiệm đều trong khoảng (-5;5).
Vì \(y'\) là tam thức bậc hai nên điều kiện là:
\(\left\{\begin{matrix}f\left(5\right)>0\\f\left(-5\right)>0\\f\left(-\frac{b}{2a}\right)< 0\\-5< -\frac{b}{2a}< 5\end{matrix}\right.\)
với \(f\left(x\right)=x^2+\left(m-1\right)x+m-2\) và \(-\frac{b}{2a}=-\frac{m-1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}6m+18>0\\-4m+28>0\\\frac{-m^2+6m-9}{4}< 0\\-5< -\frac{\left(m-1\right)}{2}< 5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m>-3\\m< 7\\m\ne3\\-9< m< 11\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-3< m< 7\\m\ne3\end{matrix}\right.\)
