Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{1}{2}\log_2\left(x^2+4x-5\right)>\log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{x+7}\right)\).
\(\left[-7;-\dfrac{27}{5}\right]\).(\(-\infty;-7\)].\(\left(-7;-\dfrac{27}{5}\right)\).[\(-\dfrac{27}{5};+\infty\)).Hướng dẫn giải:Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix}x^2+4x-5>0\\x+7>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x\in\left(-7;-5\right)\cup\left(1;+\infty\right)\) (*)
Biến đổi bất phương trình như sau:
\(\dfrac{1}{2}\log_2\left(x^2+4x-5\right)>\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{x+7}\right)\)
\(\Leftrightarrow\log_2\left(x^2+4x-5\right)^{\frac{1}{2}}>\log_{2^{-1}}\left(\frac{1}{x+7}\right)\)
\(\Leftrightarrow\log_2\left(x^2+4x-5\right)^{\frac{1}{2}}>-\log_2\left(\frac{1}{x+7}\right)\)
\(\Leftrightarrow\log_2\sqrt{\left(x^2+4x-5\right)}>\log_2\left(\frac{1}{x+7}\right)^{-1}\)
\(\Leftrightarrow\log_2\sqrt{\left(x^2+4x-5\right)}>\log_2\left(x+7\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+4x-5\right)}>\left(x+7\right)\)
Vì điều kiện \(x>-7\) nên bất phương trình trên tương đương với:
\(\Leftrightarrow x^2+4x-5>\left(x+7\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x< -\dfrac{27}{5}\)
Kết hợp với điều kiện (*) ta rút ra \(-7< x< -\dfrac{27}{5}\)
