Nghiệm của phương trình \(\log_{\sqrt{2}}\left(x+3\right)-\log_2\left(x+4\right)=2\) là
\(x=2\sqrt{2}-1\).\(x=\dfrac{\sqrt{21}-5}{2}\).\(x=2\sqrt{2}-1\) hoặc \(x=\dfrac{\sqrt{21}-5}{2}\).\(x=2\sqrt{2}-1\) hoặc \(x=-2\sqrt{2}-1\).Hướng dẫn giải:Điều kiện: \(\begin{cases}x+3>0\\x+4>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x>-3\)
\(\Leftrightarrow\log_{2^{\frac{1}{2}}}\left(x+3\right)-\log_2\left(x+4\right)=2\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{\frac{1}{2}}\log_2\left(x+3\right)-\log_2\left(x+4\right)=2\)
\(\Leftrightarrow2\log_2\left(x+3\right)-\log_2\left(x+4\right)=2\)\(\Leftrightarrow\log_2\left(x+3\right)^2-\log_2\left(x+4\right)=2\)\(\Leftrightarrow\log_2\dfrac{\left(x+3\right)^2}{x+4}=2\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+3\right)^2}{x+4}=2^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2=4\left(x+4\right)\)\(\Leftrightarrow x^2+2x-7=0\)\(\Leftrightarrow x=-1\pm\sqrt{8}\).
So sánh với điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm duy nhất \(x=-1+\sqrt{8}=-1+2\sqrt{2}\).
