Kí hiệu \(B_n\)là tập hợp các số nguyên chia hết cho n. Điều kiện cần và đủ để \(B_n\subset B_m\)là
n là bội của mm là bội của nn nhỏ hơn mm là số liền sau của nHướng dẫn giải:Trước hết ta chứng minh rằng quan hệ chia hết cho trong tập hợp số tự nhiên có tính chất bắc cầu, tức là với ba số tự nhiên \(m,n,p\), nếu \(m⋮n\) và \(n⋮p\) thì \(m⋮p\). Thật vậy, các giả thiết này có nghĩa là tồn tại hai số tự nhiên \(k,l\)sao cho \(m=kn\) và \(n=lp\). Suy ra \(m=kn=k\left(lp\right)=\left(kl\right)p\), do đó
\(m⋮p\) (đpcm).
Áp dụng nhận xét trên ta có thể dễ dàng chứng minh đáp số đúng là " n là bội số của m". Thật vậy:
- Nếu n là bôi số của m thì \(\forall x\in B_n\)có \(n⋮m\) và \(x⋮n\) suy ra \(x⋮m\) , do đó \(x\in B_m\). Vì vậy \(B_n\subset B_m\).
- Đảo lại, nếu \(B_n\subset B_m\) thì chú ý rằng \(n\in B_n\) suy ra \(n\in B_m\), do đó n là bối số của m.
