Hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-mx^2-6mx-9m+12\) có đồ thị là \(\left(C_m\right)\). Khi tham số \(m\) thay đổi, các đồ thị \(\left(C_m\right)\) đều tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Đường thẳng này có phương trình là
\(y=-9x+9\). \(y=9x+9\). \(y=-9x+30\).
\(y=9x+30\).
Hướng dẫn giải:
Viết lại hàm số đã cho dưới dạng \(y=\frac{x^3}{3}+12-m\left(x+3\right)^2,\) suy ra điểm A(-3;3) \(A\left(-3;3\right)\in\left(C_m\right),\forall,m.\)
Ta có \(y'=x^2-2m\left(x+3\right);y'\left(-3\right)=\left(-3\right)^2=9\).
Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left(-3;3\right)\) của \(\left(C_m\right)\) có phương trình \(y=9\left(x+3\right)+3\Leftrightarrow y=9x+30.\) Như vậy với mọi \(m,\) đồ thị \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định \(y=9x+30.\)
