Giải phương trình \(\sin^3x-\sqrt{3}\cos^3x=\sin x\cos^2x-\sqrt{3}\sin^2x\cos x\).
\(x=\frac{\pi}{3}+k\pi;x=\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\)\(x=-\frac{\pi}{3}+k\pi;x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\)\(x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\)\(x=\frac{\pi}{3}+k\pi;x=\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\)Đây là phương trình đẳng cấp đối với sin và cos. Xét 2 trường hợp sau:
- Xét \(\cos x=0\) , khi đó \(\sin x=\pm1\), thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.
- Xét \(\cos x\ne0\), khi đó chia cả hai vế cho \(\cos^3x\) ta được phương trình sau:
\(\frac{\sin^3x}{\cos^3x}-\sqrt{3}=\frac{\sin x}{\cos x}-\sqrt{3}\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\)
\(\Leftrightarrow\tan^3x-\sqrt{3}=\tan x-\sqrt{3}\tan^2x\)
Đặt \(t=\tan x\), ta được phương trình:
\(t^3+\sqrt{3}t-t-\sqrt{3}=0\)
\(\Leftrightarrow t^2\left(t+\sqrt{3}\right)-\left(t+\sqrt{3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t+\sqrt{3}\right)\left(t^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t+\sqrt{3}\right)\left(t-1\right)\left(t+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=-\sqrt{3}\\t=1\\t=-1\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\tan x=-\sqrt{3}\\\tan x=1\\\tan x=-1\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\\x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\)
Cách khác: \(\sin^3x-\sqrt{3}\cos^3x=\sin x\cos^2x-\sqrt{3}\sin^2x\cos x\)\(\Leftrightarrow\sqrt{3}\cos x\left(\cos^2x-\sin^2x\right)+\sin x\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\cos2x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x\right)=0\Leftrightarrow2\cos2x\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\)\(\Leftrightarrow\cos2x=0,\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\Leftrightarrow2x=\pm\dfrac{\pi}{2}+k\pi,x+\dfrac{\pi}{3}=k\pi\)
\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{4}+k\pi,x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi\)
