Giải phương trình: \(\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)+4\sin x=2+\sqrt{2}\left(1-\sin x\right)\).
\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\)\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=arcsin\left(\sqrt{2}\right)+2k\pi\\x=\pi-arcsin\left(\sqrt{2}\right)+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\)\(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) ; \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\); \(x=arcsin\left(\sqrt{2}\right)+2k\pi\) với \(k\in Z.\)Phương trình vô nghiệm.Hướng dẫn giải:Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hai số hạng đầu tiên ta có:
\(\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+4\sin x=2+\sqrt{2}\left(1-\sin x\right)\)
\(\Leftrightarrow2\cos2x\cos\frac{\pi}{4}+4\sin x=2+\sqrt{2}\left(1-\sin x\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\cos2x+4\sin x=2+\sqrt{2}\left(1-\sin x\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(1-2\sin^2x\right)+4\sin x=2+\sqrt{2}\left(1-\sin x\right)\) (thay \(\cos2x=1-2\sin^2x\))
\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}\sin^2x-\left(4+\sqrt{2}\right)\sin x+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\sin x=\frac{1}{2}\\\sin x=\sqrt{2}>1\left(loại\right)\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\) (với \(k\in\mathbb{Z}\))
