Giải phương trình \(2\cos^2x-3\sqrt{3}\sin2x-4\sin^2x=-4\).
\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\x=\frac{\pi}{6}+k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\)\(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\) với \(k\in Z.\)\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) với \(k\in Z.\)\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\)Hướng dẫn giải:Phương trình đã cho tương đương với:
\(2\cos^2x-6\sqrt{3}\sin x\cos x-4\sin^2x=-4\)
Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos. Ta xét 2 trường hợp sau:
- Xét trường hợp \(\cos x=0\), khi đó \(\sin^2x=1\), thay vào ta thấy phương trình thỏa mãn (-4 = -4). Vậy \(\cos x=0\) (hay \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) là nghiệm).
- Xét trường hợp \(\cos x\ne0\), chia cả hai vế cho \(\cos^2x\) ta được:
\(2-6\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x}-4\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=-4\frac{1}{\cos^2x}\)
\(\Leftrightarrow2-6\sqrt{3}\tan x-4\tan^2x=-4\left(1+\tan^2x\right)\)
\(\Leftrightarrow\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow\tan x=\tan\frac{\pi}{6}\)
\(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\)
Kết hợp hai trường hợp ta được nghiệm là:
\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\x=\frac{\pi}{6}+k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\)
Cách khác: Dễ thấy \(\sin x=0\) không thỏa mãn phương trình. Chia hai vế phương trình cho \(\sin^2x\) ta được \(6\cot^2x-6\sqrt{3}\cot x=0\Leftrightarrow\cot x=0,\cot x=\sqrt{3}\). Nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\)
