Để hàm số \(y=x^3+ax^2+bx+c\) đồng biến trên hai khoảng \(\left(-\infty;-1\right),\left(1;+\infty\right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;1\right)\) và có đồ thị đi qua điểm \(\left(0;1\right)\) thì
\(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\). \(\left(a;b;c\right)=\left(0;-1;1\right)\). \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;-3;1\right)\). \(\left(a;b;c\right)=\left(0;-3;1\right)\). Hướng dẫn giải:Hàm số đi qua điểm \(\left(0;1\right)\) nên ta có:
\(1=0^3+a.0^2+b.0+c\Rightarrow c=1\)
Khi đó: \(y=x^3+ax^2+bx+1\)
\(y'=3x^2+2ax+b\)
Để hàm số đồng biến trên hai khoảng \(\left(-\infty;-1\right),\left(1;+\infty\right)\) và nghịch biến trên \(\left(-1;1\right)\) thì \(y'\) có hai nghiệm là \(-1\) và \(1\).
Suy ra: \(\left\{\begin{matrix}3\left(-1\right)^2+2a.\left(-1\right)+b=0\\3.1^2+2a.1+b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-2a+b=-3\\2a+b=-3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a=0\\b=-3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(0;-3;1\right)\)
