Cho $y=\dfrac{1}{4}x^3-\dfrac{3}{2}x^2+5\quad (C)$. Các tiếp tuyến của $(C)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 có phương trình là
$y=5$ hoặc $y=-\dfrac{9}{4}x+5$. $y=5$. $y=-\dfrac{9}{4}x+5$. $y=5$ hoặc $y=\dfrac{9}{4}x+5$. Hướng dẫn giải:Các đường thẳng đi qua điểm $(0;5)$ có phương trình là $y=ax+5$. Để đường thẳng này là tiếp tuyến của $(C)$ thì phương trình $\dfrac{1}{4}x^3-\dfrac{3}{2}x^2+5=ax+5$ có nghiệm kép.
$\Rightarrow x\left(\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{3}{2}x-a\right)=0$ có nghiệm kép.
$\Rightarrow$ tam thức $\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{3}{2}x-a$ có nghiệm kép hoặc có một nghiệm là $0$.
$\Rightarrow$ $\Delta=\dfrac{9}{4}+a=0$ hoặc $\dfrac{1}{4}.0^2-\dfrac{3}{2}.0-a=0$.
$\Rightarrow$ $a=-\dfrac{9}{4}$ hoặc $a=0$.
Tương ứng với hai tiếp tuyến: $y=-\dfrac{9}{4} + 5$ và $y=0.x+5$.
