Cho phương trình \(\sin^3x-\cos^3x=1\). Nếu đặt \(t=\sin x-\cos x\) thì phương trình đã cho sẽ trở thành phương trình nào trong số các phương trình dưới đây ?
\(-t^3+3t-2=0\).\(t^3+t-2=0\).\(t^3+3t-2=0\).\(t^3-t+2=0\).Hướng dẫn giải:\(\sin^3x-\cos^3x=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\sin x-\cos x\right)\left(1+\sin x\cos x\right)=1\)
Đặt \(t=\sin x-\cos x\), thì
\(t^2=\left(\sin x-\cos x\right)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=1-2\sin x\cos x\)
=> \(\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}\)
Thay vào phương trình ta có:
\(t\left(1+\frac{1-t^2}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow-t^3+3t-2=0\)
