Cho hình chóp S.ABC có AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 10cm, SB = 10cm, SC = 10cm, SB = 10cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
6cm.\(3\sqrt{2}cm\).\(4cm\).\(2\sqrt{2}cm\).Hướng dẫn giải:
Do \(AB^2+BC^2=AC^2\) suy ra tam giác ABC vuông tại B.
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và AC, suy ra IJ // AB và vì vậy \(IJ\perp BC\).
Tam giác SBC cân tại S nên \(SI\perp BC\).
Suy ra \(mp\left(SJI\right)\perp BC\).
Trong mp(SJI) kẻ \(JK\perp SI\), suy ra \(JK\perp mp\left(SBC\right)\).
Trong mp(HAC) kẻ AH // JK.
Suy ra AH vuông góc với mp(SBC). Vậy khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng độ dài AH.
\(SI=\sqrt{SB^2-BI^2}=\sqrt{10^2-4^2}=2\sqrt{21}\left(cm\right)\).
\(IJ=\dfrac{AB}{2}=3\left(cm\right)\).
\(SJ=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\left(cm\right)\).
\(cos\widehat{JSI}=\dfrac{SJ^2+SI^2-IJ^2}{2SJ.SI}=\dfrac{\left(2\sqrt{21}\right)^2+\left(5\sqrt{3}\right)^2-3^2}{2.2\sqrt{21}.5\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{7}}{14}\).
\(IK=SI.sin\widehat{ISJ}=2\sqrt{21}.\sqrt{1-\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{14}\right)^2}=3\left(cm\right)\).
AH = 2IJ = 6(cm).
