Nội dung lý thuyết
Các phiên bản kháca) Tập hợp số thực
Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.
Tập hợp các số thực được kí hiệu là \(\mathbb{R}\).
Chú ý
+ Cũng như số hữu tỉ, mỗi số thực a đều có một số đối kí hiệu là -a.
+ Trong tập hợp số thực cũng có các phép toán với các tính chất như trong tập hợp số hữu tỉ.
Ví dụ 1: Số \(\pi=3,14159265...\) là một số thực.
b) Trục số thực
Ta đã biết mọi số hữu tỉ đều biểu diễn được trên trục số. Các số vô tỉ cũng có thể biểu diễn được trên trục số.
Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.
Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.
Chú ý: Vì mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực nên các số thực lấp đầy trục số. Để nhấn mạnh điều này, người ta cũng gọi trục số là trục số thực.
Các số thực đều viết được dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn). Vì thể có thể so sánh hai số thực tương tự như so sánh hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân.
Cũng như với các số hữu tỉ, ta có
+ Với hai số thực a và b bất kì ta luôn có a = b hoặc a < b hoặc a > b.
+ Cho ba số thực a, b, c. Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu).
+ Trên trục số nếu a < b thì điểm a nằm trước điểm b. Nói riêng, nếu các điểm nằm trước gốc O biểu diễn các số âm, các điểm nằm sau gốc O biểu diễn các số dương.
Chú ý: Nếu 0 < a < b thì \(\sqrt{a}<\sqrt{b}\). Ta thường dùng tính chất này để so sánh một căn bậc hai số học với một số hữu tỉ hoặc so sánh hai căn bậc số học với nhau.
Ví dụ 2: So sánh
a) 1, 13131313... và 1,1(13);
b) \(\sqrt{2}\) và 5.
Hướng dẫn giải
a) Ta có 1,1(13) = 1,113131313...
Do đó 1, 13131313... > 1,1(13).
b) Ta có \(5=\sqrt{25}\) mà 2 < 25 nên \(\sqrt{2}<\sqrt{25}\). Do đó \(\sqrt{2}\) < 5.
Khoảng cách từ điểm a trên trục số đến gốc O là giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu là |a|.
Nhận xét:
+ Giá trị tuyệt đối của 0 là 0.
+ Giá trị tuyệt đối của số dương là chính nó.
+ Giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.
Chú ý: Hai số đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
Ví dụ 3: Tính
a) |-2,5|; b) \(\Big|\dfrac{1}{-3}\Big|\).
Hướng dẫn giải
a) |-2,5| = 2,5.
b) \(\Big|\dfrac{1}{-3}\Big|\) = \(\dfrac{1}{3}\).