Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácTrong một trò chơi trí tuệ trên truyền hình dành cho học sinh, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính 198.202. Ngay lập tức một bạn đã chỉ ra được kết quả đúng. Bạn ấy tính như thế nào mà nhanh thế nhỉ?
Ta có đẳng thức \(a.(b-1)=a.b-a\).
Trong đẳng thức trên, khi thay a, b,... bằng bất kì giá trị số nào thì hai vế của đẳng thức luôn nhận giá trị bằng nhau. Ta gọi đẳng thức như vậy là hằng đẳng thức.
Như vậy, tổng quát ta có
Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý.
Chú ý: Hằng đẳng thức còn được gọi là đồng nhất thức.
Ví dụ 1: Đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?
a) \(a(a-2)=a^2-2a\);
b) \(x^2-1=(x-1)(x-1)\).
Hướng dẫn giải
a) Đẳng thức \(a(a-2)=a^2-2a\) là hằng đẳng thức.
b) Đẳng thức \(x^2-1=(x-1)(x-1)\) không là hằng đẳng thức vì khi thay x = 2 thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.
Với A, B là hai biểu thức tùy ý, ta có
\(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\)
Ví dụ 2:
a) Tính nhanh \(102^2-98^2\);
b) Viết \(x^2-4\) dưới dạng tích.
Hướng dẫn giải
a) \(102^2-98^2=(102-98)(102+98)=4.200=800.\)
b) \(x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2).\)
Ví dụ 3: Ở bài toán mở đầu, hãy giải thích xem bạn đó tính nhanh như thế nào.
Hướng dẫn giải
\(198.202=(200-2)(200+2)=200^2-2^2=40000-4=39996.\)
Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có
\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)
Ví dụ 4:
a) Tính nhanh \(102^2\); b) Khai triển \((x+2y)^2\).
Hướng dẫn giải
a) \(102^2=(100+2)^2=100^2+2.100.2+2^2=10000+400+4=10404\).
b) \((x+2y)^2=x^2+2.x.2y+(2y)^2=x^2+4xy+4y^2\).
Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có
\((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)
Ví dụ 5:
a) Tính nhanh \(999^2\); b) Khai triển \((2x-y)^2\).
Hướng dẫn giải
a) \(999^2=(1000-1)^2\)
\(=1000^2-2.1000.1+1^2=1000000-2000+1=998001.\)
b) \((2x-y)^2=(2x)^2-2.2x.y+y^2=4x^2-4xy+y^2\).