Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài toán mở đầu

Bạn Tròn: Tớ biết cách tìm được tất cả các số x để 2x² + x = 0.

Bạn Vuông: Tròn làm thế nào nhỉ?

1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) x³ + x ;            b) x(a - b) + y(a - b).

Hướng dẫn giải

a) x³ + x = x(x² + 1).

b) x(a - b) + y(a - b) = (a - b)(x - y).

Chú ý: Cách làm như Ví dụ 1 gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung.

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử

Ví dụ 2: Phân tích xy + 3z + xz + 3y thành nhân tử.

Hướng dẫn giải

xy + 3z + xz + 3y = (xy + xz) + (3z + 3y)

                            = x(y + z) + 3(z + y)

                            = (x + 3)(y + z).

Chú ý: Cách làm như Ví dụ 2 gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử.

Ví dụ 3: Giải bài toán mở đầu bằng cách phân tích 2x² + x thành nhân tử.

Hướng dẫn giải

2x² + x = x(2x + 1).

Ta có 2x² + x = 0 suy ra x(2x + 1) = 0.

Do đó x = 0 hoặc 2x + 1 = 0. Vậy x = 0 hoặc x = \(\dfrac{-1}{2}\).

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức

Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x² + 2x + 1;                b) x² - 9;              c) x³ - 8.

Hướng dẫn giải

a) x² + 2x + 1 = (x + 1)².

b) x² - 9 = x² - 3² = (x - 3)(x + 3).

c) x³ - 8 = x³ - 2³ = (x - 2)(x² + 2x + 4).

Chú ý: Cách làm như ví dụ trên gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức.