Bài 5a: Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số

I. Khái niệm cung lồi, cung lõm và điểm uốn

Cho đồ thị ACB của hàm số y = f(x) như hình dưới, giả sử đồ thị có tiếp tuyến tại mọi điểm.

Cung lồi: Tại mọi điểm của cung AC, tiếp tuyến luôn nằm bên trên cung, khi đó ta nói cung AC là một cung lồi. Khoảng [a, c] ứng vưới cung lồi AC gọi là khoảng lồi của đồ thị (với a là hoành độ điểm A, c là hoành độ điểm C)

Cung lõm: Trên cung CB, mọi tiếp tuyến đều nằm dưới đồ thị, khi đó CB được gọi là cung lõm và đoạn [c, b] là khoảng lõm của đồ thị.

Điểm uốn: điểm chuyển tiếp giữa cung lồi và cung lõm (từ lồi chuyển sang lõm hoặc từ lõm chuyển sang lồi) gọi là điểm uốn của đồ thị. Điểm C là điểm uốn.

II. Dấu hiệu và cách tìm khoảng lồi, khoảng lõm và điểm uốn

Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a; b).   

- Nếu f''(x) < 0 với mọi \(x\in\left(a;b\right)\) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó

- Nếu f''(x) > 0 với mọi \(x\in\left(a;b\right)\) thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó

- Nếu f''(x) đổi dấu khi x đi qua \(x_0\) thì điểm \(M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\) là điểm uốn của đồ thị hàm số 

III. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của các đồ thị hàm số 

  a) \(y=x^5\)

  b) \(y=-\sin x\) trên đoạn \(\left[0;2\pi\right]\)

Giải: 

a) Tập xác định \(\mathbb{R}\), ta có: \(y'=5x^4\); \(y''=20x^3\), bảng xét dấu \(y''\)

  

Vậy đồ thị hàm số lồi trên \(\left(-\infty;0\right)\), lõm trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\) và điểm (0; 0) là điểm uốn của đồ thị (xem hình vẽ dưới)

b) Ta có \(y'=-\cos x\) ; \(y''=\sin x\), bảng xét dấu \(y''\) trên \(\left(0;2\pi\right)\)

Vậy hàm số \(y=-\sin x\) lõm trên \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) , lồi trên \(\left(\frac{\pi}{2};2\pi\right)\). Điểm \(\left(\frac{\pi}{2};0\right)\) là điểm uốn của đồ thị (xem đồ thị phía dưới)

Ví dụ 2: Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

Giải: Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}\)

Ta có: \(y'=-\frac{2}{\left(x-1\right)^2}\) ; \(y'=\frac{4}{\left(x-1\right)^3}\)

Bảng xét dấu của y'': 

Đồ thị hàm số lồi trên \(\left(-\infty;1\right)\) và lõm trên \(\left(1;+\infty\right)\) (xem đồ thị phía dưới)