Bài 2: Cực trị hàm số

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I. Cực đại, cực tiểu

Định nghĩa cực đại, cực tiểu:

Giả sử hàm số f xác định trên tập D và \(x_0\in D\)

• \(x_0\) được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng \(\left(a;b\right)\) chứa điểm  \(x_0\) sao cho \(\left(a;b\right)\) ⊂ D và \(f\left(x\right)< f\left(x_0\right)\), ∀x ∈ \(\left(a;b\right)\)\{ \(x_0\)}. Khi đó \(f\left(x_0\right)\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số  f;

•  \(x_0\) được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng \(\left(a;b\right)\) chứa điểm  \(x_0\) sao cho \(\left(a;b\right)\) ⊂ D và  \(f\left(x\right)>f\left(x_0\right)\), ∀x ∈ \(\left(a;b\right)\)\{ \(x_0\)}. Khi đó \(f\left(x_0\right)\) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số  f.

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.

Định lý 1 : 

   Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) đạt cực trị tại  \(x_0\). Khi đó, nếu \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'\left(x_0\right)=0\).

Định lý 2 : 

Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên khoảng (a; b) chứa \(x_0\) và có đạo hàm trên (a;  \(x_0\)), ( \(x_0\); b). Khi đó :

• Nếu \(f'\left(x\right)< 0\), ∀x ∈ (a; \(x_0\)) và \(f'\left(x\right)>0\), ∀x ∈ ( \(x_0\); b) thì hàm số  \(y=f\left(x\right)\) đạt cực tiểu tại  \(x_0\);

• Nếu \(f'\left(x\right)>0\), ∀x ∈ (a; \(x_0\)) và \(f'\left(x\right)< 0\), ∀x ∈ ( \(x_0\); b) thì hàm số  \(y=f\left(x\right)\) đạt cực đại tại  \(x_0\).

Định lý 3 :

Giả sử hàm số  \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm cấp một trên (a; b) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại  \(x_0\). Khi đó :

• Nếu  \(f'\left(x_0\right)=0\); \(f''\left(x_0\right)< 0\) thì hàm số đạt cực đại tại  \(x_0\);

• Nếu  \(f'\left(x_0\right)=0\) ;\(f''\left(x_0\right)>0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại x \(x_0\).

Lưu ý : Nếu \(f''\left(x_0\right)=0\) thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại  \(x_0\)

II. Các qui tắc tìm cực trị của hàm số 

1. Qui tắc 1 (Lập bảng biến thiên)

- Tìm tập xác định.

- Tính y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định.

- Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

2. Qui tắc 2 (Tìm nghiệm đạo hàm bậc nhất và xét dấu đạo hàm bậc hai)

- Tìm tập xác định

- Tính f'(x), tìm nghiệm của phương trình f'(x) = 0, giả sử các nghiệm là x_i (i = 1, 2, .., n)

- Tính f''(x) và f''(x_i). Nếu f''(x_i) < 0 thì x_i là điểm cực đại; nếu f''(x_i) > 0 thì x_i là điểm cực tiểu.

III. Cực trị của một số hàm phổ biến 

1. Điều kiện để hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (\(a\ne0\)) có cực trị.

- Tính y' = 3ax² + 2bx + c ; Tính ∆ của y'.

- Hàm số có cực trị ⇔ ∆ > 0; hàm số không có cực trị ⇔ ∆ \(\le0\).

2. Điều kiện để hàm số y = ax⁴ + bx² + c (\(a\ne0\)) có k cực trị.

- Tính y'= \(4ax^3+2bx=2x\left(2ax^2+b\right);y'=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x^2=-\frac{b}{2a}\end{cases}\)
 

- Hàm số có ba cực trị ⇔ \(-\frac{b}{2a}>0\); hàm số có một cực trị ⇔ \(-\frac{b}{2a}\le0\)

3. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại \(x_0\).

- Tính y' ; hàm số đạt cực trị tại \(x_0\Rightarrow y'\left(x_0\right)=0\Rightarrow m\)

- Tính y''; thay m và \(x_0\) vào \(y"\) để kết luận.

Lưu ý. Nếu \(y"\left(x_0\right)=0\) thì phải kiểm tra dấu của y' để kết luận. 

IV. Các dạng bài tập 

1. Dạng 1 : Tìm các điểm cực trị của hàm số :

Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số sau : 

a) \(y=-x^3+3x^2+2\)

b) \(y=x^3-3x^2+3x\)

Bài giải :

a) Tập xác định : D=R

Ta có : \(y'=-3x^2+6x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}\)

           \(y"=-6x+6\Rightarrow y"\left(0\right)>6;y"\left(2\right)=-6<0\)

Hàm số đạt cực đại khi x=2 với giá trị cực đại của hàm số là \(y\left(2\right)=6\)

Hàm số đạt cực tiểu khi x=0 với giá trị cực tiểu của hàm số là \(y\left(0\right)=2\)

b) Tập xác định : D=R

Ta có \(y'=3x^2-6x+3=3\left(x-1\right)^2\ge0\) với mọi x

Suy ra hàm số không có cực trị

Chú ý :

- Nếu \(y'\) không đổi dấu thì hàm số không có cực trị

- Đối với câu b, nếu giải theo quy tắc 2 thì chưa kết luận được cực trị của hàm số. Thông thường ta tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 1.

- Đối với hàm bậc 3 thì \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt là điều cần và đủ đế hàm có cực trị.

Ví dụ 2 : Tìm cực trị của các hàm số sau :

a) \(y=3x^4-12x^3+16\)

b) \(y=-2x^4+4x^2+6\)

Bài giải :

a) Tập xác định : D = R

Ta có \(y'=12x^3-36x^2=12x^2\left(x-3\right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=3\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\) với giá trị cực tiểu của hàm số là \(y\left(3\right)=-65\), hàm số không có cực đại

b) Tập xác định : D=R

Ta có \(y'=-8x^3+8x=-8x\left(x^2-1\right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm1\)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x_1=1;x_2=-1\) tương ứng với giá trị cực đại của hàm số là \(y\left(1\right)=8;y\left(-1\right)=8\) và hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\) với giá trị của hàm số là \(y\left(0\right)=6\)

Chú ý :

Đối với hàm bậc 4, vì đạo hàm là đa thức bậc ba nên hàm chỉ có thể có một cực trị hoặc 3 cực trị. Hàm số có một cực trị khi phương trình \(y'=0\) có một hoặc 3 nghiệm (1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép), hàm số có 3 cực trị khi phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 3 :

Tìm cực trị của các hàm số sau :

 \(y=\frac{2x+1}{3x-6}\)

Bài giải :

Tập xác định : \(D=R\)\\(\left|2\right|\)

Ta có \(y'=\frac{-15}{\left(3x-6\right)^2}<0\), mọi \(x\ne2\)

Suy ra hàm số đã cho không có cực trị

2. Dạng 2 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 

Ví dụ 1 : Xác định m để hàm số \(y=x^4-2\left(m-1\right)x^2+m-2\)

a) Có hoành độ điểm cực tiểu bằng 2

b) Có cực tiều mà không có cực đại

c) Có 3 cực trị

Bài giải :

Ta có \(y'=4x^3-4\left(m-1\right)x\)

          \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x^2=m-1\left(1\right)\)

a) Hoành độ điểm cực trị bằng 2 suy ra \(y'\left(2\right)=0\Leftrightarrow4.8-4\left(m-1\right)2=0\Leftrightarrow m=5\)

Với m = 5 suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm2\)

Ta có \(y"=12x^2-16\Rightarrow y"\left(-2\right)=32>0\)

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=2

Vậy m=5 là giá trị cần tìm

b) Hàm số đạt cực tiều mà không có cực đại <=> Phương trình \(y'=0\) có 1 nghiệm <=> phương trình (1) vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm bằng 0.

\(\Leftrightarrow m-1\le0\Leftrightarrow m\le1\)

Vậy \(m\le1\) là giá trị cần tìm

c) Hàm số đã cho có 3 cực trị <=> phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt

                                     <=> Phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0 \(\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)

Vậy \(m>1\) là giá trị cần tìm

Nhận xét :

Đối với hàm trùng phương \(y=ax^4+bx^2+c\left(a\ne0\right)\) (Nếu a còn chứa tham số cần xét trường hợp  \(a=0;a\ne0\).

Ta có : \(y'=4ax^3+2bx=x\left(4ax^2+b\right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(4ax^2+b=0\left(1\right)\)

- Hàm có 3 cực trị <=> (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \(\Leftrightarrow\begin{cases}b\ne0\\ab,0\end{cases}\)

Khi đó hàm có 2 cực tiểu, một cực đại khi a > 0 ; Hàm số có hai cực đại, một cực tiểu khi a < 0

- Hàm số có một cực trị khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm  hoặc có 1 nghiệm \(x=0\Leftrightarrow\Delta<0\)hoặc \(f\left(0\right)=0\)<=> ab > 0 hoặc b = 0. Khi đó hàm chỉ có cực tiểu khi a > 0 và chỉ có cực đại khi a < 0

Ví dụ 2 : Tìm m để hàm số \(y=4mx^3-3\left(m+1\right)x^2+6x+1\)

a) Có cực đại và cực tiểu

b) Đạt cực tiểu tại x = 3

Bài giải :

 Tập xác định D = R

Ta có \(y'=12mx^2-6\left(m+1\right)x+6\)

a) Hàm số có cực đại, cực tiểu <=> phương trình \(y'=0\Leftrightarrow2mx^2-\left(m+1\right)x+1=0\) có 2 nghiệm phân biệt 

Dễ thấy m = 0 không thỏa mãn

Do đó yêu cầu bài toán \(\begin{cases}m\ne0\\\Delta>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne0\\m^2-6m+1>0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;3-2\sqrt{2}\right)\cup\left(3+2\sqrt{2};+\infty\right)\)

Vậy \(m\in\left(-\infty;3-2\sqrt{2}\right)\cup\left(3+2\sqrt{2};+\infty\right)\) là giá trị cần tìm

b) Hàm số dạt cực đại tại điểm x = 3 suy ra 

\(y'\left(3\right)=0\Leftrightarrow2m.9-\left(m-1\right)3+1=0\Leftrightarrow m=\frac{2}{15}\)

Với \(m=\frac{2}{15}\) ta có \(y"=24mx-6\left(m+1\right)\Rightarrow y'\left(3\right)=24.\frac{2}{15}.3-6\left(\frac{2}{15}+1\right)>0\)

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 3

Nhận xét : Đối với hàm số \(y=ax^3+bx^2+cx+d,\left(a\ne0\right)\)

Ta có \(y'=3ax^2+2bx+c\)

Hàm số đạt cực trị khi và chỉ khi \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt (Nếu a còn chứa tham số  cần xét trường hợp a = 0 và \(a\ne0\)

Ví dụ 3 :

Tìm m để hàm số \(y=\frac{x^2+mx-2}{mx-1}\) có cực trị

Bài giải :

- Nếu m = 0 thì \(y=x^2-2\) => hàm số có 1 cực trị

- Nếu \(m\ne0\) thì hàm số xác định với mọi \(x\ne\frac{1}{m}\)

Ta có \(y=\frac{mx^2-2x+m}{\left(mx-1\right)^2}\) 

Hàm số có cực trị \(y'=0\Leftrightarrow mx^2-2x+m=0\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(\frac{1}{m}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}1-m^2>0\\m-\frac{1}{m}\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow-1\) < m < 1

Vậy - 1 < m < 1 là những giá trị cần tìm

Chú ý : Ở bài toàn trên chỉ yêu cầu là có cực trị nên ta lưu ý trng hợp m = 0. Nếu bài toán yêu cầu hàm số có cực đại, cực tiểu thì trường hợp m = 0 không thỏa mãn

3. Dạng 3 : Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 1 : Cho hàm phân thức hữu tỉ \(y=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}\) khi đó nếu \(x_0\) là điểm cực của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số \(y\left(x_0\right)=\frac{u'\left(x_0\right)}{v'\left(x_0\right)}\) và \(y=\frac{u'\left(x\right)}{v'\left(x\right)}\) là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị

Bài giải :

Ta có \(y'=\frac{u'\left(x\right)v\left(x\right)-v'\left(x\right)u\left(x\right)}{v^2\left(x\right)}\Rightarrow y'=0\)

      \(\Leftrightarrow u'\left(x\right)v\left(x\right)-v'\left(x\right)u\left(x\right)=0\)(*)

Giả sử \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số thì \(x_0\) là nghiệm của phương trình (*)

      \(\Rightarrow\frac{u'\left(x_0\right)}{v'\left(x_0\right)}=\frac{u\left(x_0\right)}{v\left(x_0\right)}=y\left(x_0\right)\)