Chương 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

Gọi M là trung điểm của AB suy ra :

\(SM\perp\left(ABC\right);SM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Gọi G₁ là trọng tâm của △SAB suy ra :

\(SG_1=BG_1=AG_1=\dfrac{2}{3}SH=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Gọi G₂ là trọng tâm của △ABC suy ra :

\(AG_2=BG_2=CG_2=\dfrac{2}{3}MC=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow R=\sqrt{SG_1^2+BG_2^2-\dfrac{AB^2}{4}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2-\dfrac{1^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{6}\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\text{π}R^3=\dfrac{4}{3}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{15}}{6}\right)^3\text{π}=\dfrac{5\sqrt{15}}{54}\text{π}\)

Bạn ơi tằm 7h30-8h tói thì mới có nhiều người cày chứ bây giờ ít người onl lắm nên bạn đăng câu hỏi tráng nhứng lúc ngủ hoặc ít người onl để được trả lời ạ!

Ta có:

\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MG^2\) với G  là trọng tâm của tứ diện đều.

Từ đề ta suy ra được:

\(4MG^2=2a^2\)

<=> \(2MG^2=a^2\)

=> \(MG=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Hóng ké ai đó giải bài nì, ko thì toi xách mông đi hỏi, ngu hình quá :(

Gọi M là trung điểm AB, do \(DA=DB=DC=a\Rightarrow\) hình chiếu vuông góc H của D lên (ABC) trùng tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, hay tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc đường thẳng DH

Tam giác ABC cân tại C, qua trung điểm N của AC kẻ trung trực cắt CM tại H

\(AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow CM=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}\) ; \(CH=\dfrac{CN}{cos\widehat{ACM}}=CN.\dfrac{CA}{CM}=\dfrac{2a\sqrt{13}}{13}\)

Gọi P là trung điểm CD, do tam giác CDM cân tại M \(\Rightarrow\) CM là trung trực CD

Gọi I là giao điểm PM và DH \(\Rightarrow\) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

\(MH=CM-CH=\dfrac{5a\sqrt{13}}{52}\) ; \(MP=\sqrt{MC^2-CP^2}=\dfrac{3a}{4}\)

\(DH=\sqrt{MD^2-MH^2}=\sqrt{MC^2-MH^2}=\dfrac{3a\sqrt{13}}{13}\)

\(IH=MH.tan\widehat{CMP}=MH.\dfrac{CP}{MP}=\dfrac{5a\sqrt{13}}{78}\)

\(R=ID=DH-IH=\dfrac{a\sqrt{13}}{6}\)

Do thiết diện qua trục là hình vuông \(\Rightarrow h=2R\)

Thể tích khối trụ: \(V'=\pi R^2h=2\pi R^3\)

Độ dài cạnh hình vuông nội tiếp trong đường tròn bán kính R: \(a=R\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\)Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều:

\(V=a^2.h=2R^2.2R=4R^3\)

\(\Rightarrow\dfrac{V}{V'}=\dfrac{\pi}{2}\)

Khi quay ta sẽ được 1 hình ghép bởi hai khối:

- Khối trụ chiều cao AB bán kính đáy AD \(\Rightarrow V_1=\pi.AD^2.AB=\pi a^3\)

- Khối nón chiều cao \(CH=3a\) bán kính đáy \(BH=a\) \(\Rightarrow V_2=\dfrac{1}{3}\pi.BH^2.CH=\pi a^3\)

\(\Rightarrow V=V_1+V_2=2\pi a^3\)