Bài tập cuối chương I

\(a,\;y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)

TXD : R

\(y' = 3{x^2} - 6x\)

Cho y= 0 => \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trong khoảng (0;2)

\(\;b,\;y =  - {x^3} + 3{x^2} - 6x\)

TXD: R

\(y' = \; - 3{x^2} + 6x - 6\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số

Hàm số nghịch biến trên R

\(c,y = \frac{{3x - 2}}{{x - 2}}\)

TXD: R/2

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x - 2}} = 3 =  > TCN\;y = 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x - 2}}{{x - 2}} =  - \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số nghịch biến trên khoảng R

\(d,y = \frac{x}{{2x + 3}}\)

TXD: R \ {\( - \frac{3}{2}\)}

TCN \(y = \frac{1}{2}\)

TCD \(x =  - \frac{3}{2}\)

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số:

\(e,y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}\)

\(TXD:\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)

TCD: x = 0.

Không có tiệm cận ngang.

Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}} = x + 2 + \frac{4}{x}\), suy ra:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{4}{x} = 0.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{4}{x} = 0.\end{array}\)

Do đó, đồ thị hàm số có \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên.

\(y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)x - \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\).

Cho y’=0 => x=\( \pm 2\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

g, \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}\)

TXD: \(\mathbb{R}\backslash \{  - 2\} \).       \[\]

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \). Đồ thị àm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y =  + \infty \). Đồ thị hàm số có \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng.

Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 2}}\), suy ra:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 2}} = 0.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 2}} = 0.\end{array}\)

Do đó, đồ thị hàm số có \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Giả sử chiều dài của trang sách là x và chiều rộng là y. Theo đề bài, diện tích của trang sách là:

$xy~=~384~cm{}^\text{2}$                

Khi để lề trên và lề dưới đều là 3 cm, lề trái và lề phải đều là 2 cm thì diện tích phần in chữ sẽ là:

\(\left( {x - 2.3} \right)\left( {y - 2.2} \right)\; = \;\left( {x - 6} \right)\left( {y - 4} \right)\)

Ta có: \(x = \frac{{384}}{y}\) (1)

Thay x vào phương trình \(\left( {x - 6} \right)\left( {y - 4} \right)\) ta thu được \(\left( {x - 6} \right)\left( {\frac{{384}}{x} - 4} \right)\)

\(f\left( x \right) = \;\left( {x - 6} \right)\left( {\frac{{384}}{x} - 4} \right)\)

$\to f\left( x \right)=-4+\left( \frac{2304}{{{x}^{2}}} \right)$

$f\left( x \right)=0\to -4+\left( \frac{2304}{{{x}^{2}}} \right)=0\to x=24$

Thế vào (1): \(x = 24 \to y = 16\)

Vậy kích thước của trang sách có chiều dài 24 cm, chiều rộng 16 cm thì phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất

Xét đồ thị a ta thấy đồ thị đi qua điểm (0;0)

Thay x=0 vào hàm số

=> Thấy C thỏa mãn

=> Chọn C

Xét đồ thị b ta thấy đồ thị đi qua điểm (0;3)

Thay x=0 vào hàm số

=> Thấy A thỏa mãn 

=> Chọn A

a) \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 6x\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\)

Tìm điểm cực trị: \(f'\left( x \right) = 0 \to 6{x^2} - 6 = 0 \to x = - 1, x = 1\)

So sánh giá trị hàm số tại các điểm cực trị và hai đầu mút của đoạn:

\(f\left( { - 1} \right) = 2{( - 1)^3} - 6\left( { - 1} \right) =  - 2 + 6 = 4\)

\(f\left( 1 \right) = 2{(1)^3} - 6\left( 1 \right) = 2 - 6 =  - 4\)

\(f\left( 3 \right) = 2{(3)^3} - 6\left( 3 \right) = 54 - 18 = 36\)

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) là \( - 4\) (tại \(x = 1\)), và GTLN là 36 (tại \(x = 3\))

b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 6}}{{x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\)

\(f'(x) = \frac{{{x^2} + 4x}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Khi đó trên đoạn [1;5] không tồn tại x để f’(x) = 0.

So sánh giá trị hàm số tại hai đầu mút của đoạn:

\(f\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} + 3.1 + 6}}{{1 + 2}} = \frac{{10}}{3};f\left( 5 \right) = \frac{{{5^2} + 3.5 + 6}}{{5 + 2}} = \frac{{46}}{7}\)

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\) là \(\frac{{10}}{3}\) (tại \(x = 1\)), và GTLN là \(\frac{{46}}{7}\) (tại \(x = 5\))

c) \(f\left( x \right) = \frac{{In\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)

So sánh giá trị hàm số:

\(f\left( 0 \right) = \frac{{\ln \left( {0 + 1} \right)}}{{0 + 1}} = 0; f(e - 1) = \frac{1}{{e + 1}}; f\left( 3 \right) = \frac{{\ln \left( {3 + 1} \right)}}{{3 + 1}} = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{2}\)

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là 0 (tại \(x = 0\)), và GTLN là \(\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{2}\) (tại \(x = 3\))

d) \(f\left( x \right) = 2sin3x + 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)

\(f'(x) = 6\cos 3x + 7\). Khi đó trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có f’(x) > 0, hàm số đồng biến

So sánh giá trị hàm số tại hai đầu mút của đoạn:

\(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \left( {3\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)} \right) + 7\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + 1 = 3 - \frac{{7\pi }}{2}\)

\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \left( {3\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right) + 7\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 1 =  - 1 + \frac{{7\pi }}{2}\)

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(3 - \frac{{7\pi }}{2}\) (tại \(x = \frac{{ - \pi }}{2}\)), và GTLN là \( - 1 + \frac{{7\pi }}{2}\) (tại \(x = \frac{\pi }{2}\))

A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)

Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\)

Đặt mẫu: \(3x - 2 = 0\) → \(x = \frac{2}{3}\)

Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = \frac{2}{3}\)

Ta có:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \frac{5}{3}\)

Vậy, hàm số có TCN là: \(y = \frac{5}{3}\)

B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)

TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Đặt mẫu \({x^3} + 1 = 0\) → \(x =  - 1\)

Vậy hàm số có TCĐ là: \(x =  - 1\)

Ta có:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = 2\)

Vậy hàm số có TCN là: \(y = 2\)

C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)

TXĐ: \(x \in \left[ { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right]\)

Đặt mẫu \(\sqrt {{x^2} - 4}  = 0\) → \(x =  - 2;\;x = 2\)

Vậy hàm số có TCĐ là: \(x =  - 2;\;x = 2\)

Ta có

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 1\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} =  - 1\)

Vậy hàm số có TCN là: \(y = 1;\;y =  - 1\)

Hình 33 có

1 TCĐ \(x =  - 1\)

1 TCN \(y =  - 1\)

Vậy hàm số cần tìm là: \(y = \frac{{ - x}}{{x + 1}}\)

Đáp án D

Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Đặt mẫu: \({x^2} + 2x + 1 = 0\) → \(x =  - 1\)

Vậy hàm số có TCĐ là \(x =  - 1\)

Ta có:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{4x + 4}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0\)

Vậy, hàm số có TCN là: \(y = 0\)

Đáp án C

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\;\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

=> Chọn B

Xét đồ thị ta thấy hàm số cắt x tại 1 và y tại -2

Thế x=1 vào phương trình

=> Phương trình a có nghiệm x=1 và y=2

=> Chọn A

a) \(y = x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}\)

TCĐ: \({x^2} = 0 \to x = 0\)

Vậy đường tiệm cận đứng của hàm số là \(x = 0\)

TCX:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{x} = 1\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - ax} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}} - x =  - 3\)

Vậy đường tiệm cận xiên của hàm số là \(y = x - 3\)

b) \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\)

TCĐ: \(x - 1 = 0 \to x = 1\)

Vậy đường tiệm cận đứng của hàm số là \(x = 1\)

TCX:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}}}{x} = 2\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - ax} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} - 2x =  - 1\)

Vậy đường tiệm cận xiên của hàm số là \(y = 2x - 1\)

c) \(y = \frac{{2{x^2} - x + 3}}{{2x + 1}}\)

TCĐ: \(2x + 1 = 0 \to x =  - \frac{1}{2}\)

Vậy đường tiệm cận đứng của hàm số là \(x =  - \frac{1}{2}\)

TCX:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} - x + 3}}{{2x + 1}}}}{x} = 1\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - ax} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - x + 3}}{{2x + 1}} - x =  - 1\)

Vậy đường tiệm cận xiên của hàm số là \(y = x - 1\)