Bài tập cuối chương I

Gọi độ dài của hàng rào song sông với bờ sông là x(m) với x>0

Gọi độ dài của mỗi hàng rào trong ba hàng rào song song nhau là y(m) với y>0

Diện tích đất mà bác nông dân rào được là: \(xy\left( {{m^2}} \right)\)

Tổng chi phí là 15.000.000 đồng nên ta có phương trình:

\(x*60000 + 3y*50000 = 15000000 =  > 6x + 15y = 1500\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

\(6x + 15y \ge 2\sqrt {6x.5y}  =  > 1500 \ge 2\sqrt {90xy}  =  > xy \le 6250\)

Vậy diện tích lớn nhất mà bác nông dân có thể tạo rào là 6250\(\left( {{m^2}} \right)\)

Giả sử chiều dài của hai cạnh đáy của hình thang cân lần lượt là \(x\) và \(2x\), và chiều dài của cạnh bên là \(a - 3x\). Do đó, chiều cao của hình thang cân là: \(h = \sqrt {{{(a - 3x)}^2} - {x^2}} \)

Diện tích của hình thang cân là:

\(S = \frac{{\left( {x + 2x} \right)h}}{2} = \frac{{3x\sqrt {{{(a - 3x)}^2} - {x^2}} }}{2}\)

Để tìm giá trị lớn nhất của S, ta cần tìm giá trị x sao cho đạo hàm của S theo x bằng 0. Đạo hàm của S theo x được tính bằng công thức sau:

\(S' = \frac{{dS}}{{dx}} = \frac{{3x\left( {8x - 9} \right)}}{{2\sqrt { - {x^2} + {{(a - 3x)}^2}} }} + \frac{{3\sqrt { - {x^2} + {{(a - 3x)}^2}} }}{2}\).

Giải phương trình \(S' = 0\)

Sau khi giải, thay x vào công thức diện tích S, ta tìm được diện tích lớn nhất của mảnh vườn có thể rào được là \({S_{max}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Đặt A'M = x (m).

Suy ra B'M = A'B' – A'M = 2 200 – x (m).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 2 200.

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:

\(AM = \sqrt {A'{A^2} + A'{M^2}}  = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} \) (m)

\(BM = \sqrt {B'{B^2} + B'{M^2}}  = \sqrt {{{600}^2} + (2200 - {x^2})} \) (m)

Tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là

\(D = AM + BM = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}}  + \sqrt {{{600}^2} + (2200 - {x^2})} \) (m)

Xét hàm số \(D(x) = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}}  + \sqrt {{{600}^2} + (2200 - {x^2})} \) với \(x \in (0;2200)\).

Ta có: \(D'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} }} + \frac{{x - 2200}}{{\sqrt {{{600}^2} + {{(2200 - x)}^2}} }}\).

Trên khoảng (0;2200), ta thấy D'(x) = 0 khi x = 1 000.

Bảng biến thiên của hàm số D(x) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số D(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(1100\sqrt 5 \) tại x = 1 000.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là  \(1100\sqrt 5 \) m.

Cứ tăng thêm 200 nghìn đồng vào giá thuê một căn hộ trên một tháng thì có một căn hộ bị bỏ trống.

Gọi số lần tăng 200 nghìn đồng vào giá thuê một căn hộ trên một tháng là x (\(x \in {\mathbb{N}^*}\)).

Khi đó x cũng là số căn hộ bị bỏ trống.

Tổng số tiền công ty thu được lúc này là:

\(T(x) = (2000 + 200x)(20 - x) = 40000 + 2000x - 200{x^2}\) với \(x \in {\mathbb{N}^*}\).

Ta có: \(T'(x) = 2000 - 400x = 0 \Leftrightarrow x = 5\) (TM).

Căn cứ vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số T(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 45000 khi x = 5.

Khi đó, số tiền tăng lên khi cho thuê một căn hộ là 200.5 = 1000 nghìn đồng = 1 triệu đồng.

Vậy công ty nên cho thuê mỗi căn hộ 3 triệu đồng/1 tháng thì tổng số tiền thu được là lớn nhất.