Bài 4. Tính chất đường phân giác của tam giác

a)      Ta thấy mỗi ô vuông có độ dài cạnh bằng 1cm.

Đoạn thẳng BD có độ dài bằng độ dài cạnh của 2 ô vuông nên BD dài 2 cm.

Đoạn thẳng DC có độ dài bằng độ dài cạnh của 3 ô vuông nên BD dài 3 cm.

b)     Ta thấy AB là bán kính đường tròn tâm B. Mà bán kính đường tròn tâm B có độ dài 4 ô vuông, tương ứng với 4 cm nên AB dài 4 cm.

Ta thấy AC là bán kính đường tròn tâm C. Mà bán kính đường tròn tâm C có độ dài 6 ô vuông, tương ứng với 6 cm nên AB dài 6 cm.

c)      Ta có: \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{2}{3};\,\,\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Vậy \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Ta có ABCD là hình vuông có AC là đường chéo nên góc DAC bằng góc CAB.

Hay góc NAC bằng góc MAC. 

Suy ra: AC là đường phân giác của góc MAN. 

Theo định lí đường phân giác của tam giác ta có: 

\(\frac{CM}{CN} = \frac{AM}{AN}\)

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\)

Mà \(AB < AC\)\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} < 1 \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} < 1 \Rightarrow DB < DC\).

Xét tam giác ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF, ta có:

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}};\,\,\frac{{BC}}{{BA}} = \frac{{EC}}{{EA}};\,\,\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{FA}}{{FB}}\) (Tính chất đường phân giác)

\( \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}}.\frac{{EC}}{{EA}}.\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{BC}}{{BA}}.\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{AB.BC.CA}}{{CA.AB.BC}} = 1\) (đpcm).

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AD tại K.

Vì \(BK//AC\) nên theo hệ quả của định lý Thales, ta có: \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{BK}}{{AC}}\)

Mà \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) nên \(\frac{{BK}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = BK\)

Khi đó tam giác ABK cân tại B nên \(\widehat {BAK} = \widehat {BKA}\)

Mà \(BK//AC\) nên \(\widehat {BKA} = \widehat {KAC}\)

\( \Rightarrow \widehat {BAK} = \widehat {KAC}\)

Vậy AD là đường phân giác trong tam giác ABC.

Có AD là đường phân giác trong tam giác ABC nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}} \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow DC = \frac{3}{2}DB\)

Mà \(DB + DC = BD \Rightarrow DB + \frac{3}{2}DB = 5 \Rightarrow DB = 2\)

Có BE là đường phân giác trong tam giác ABC nên \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{CB}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{4}{5} \Rightarrow AE = \frac{4}{5}CE\)

Mà \(AE + EC = AC \Rightarrow \frac{4}{5}CE + CE = 6 \Rightarrow CE = \frac{{10}}{3}\)

Có CF là đường phân giác trong tam giác ABC nên \(\frac{{AF}}{{FB}} = \frac{{CA}}{{CB}} \Rightarrow \frac{{AF}}{{FB}} = \frac{6}{5} \Rightarrow FB = \frac{6}{5}AF\)

Mà \(AF + FB = AB \Rightarrow AF + \frac{5}{6}AF = 4 \Rightarrow AF = \frac{{24}}{{11}}\).

Tam giác ABC có đường phân giác BE nên ta có: \(\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{BA}}\)

Mà M là trung điểm của BC nên \(BC = 2BM\)

\( \Rightarrow \frac{{EC}}{{EA}} = 2\frac{{BM}}{{BA}}\,\,\left( 1 \right)\)

Tam giác ABM có đường phân giác BD nên ta có: \(\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{BM}}{{BA}}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{EC}}{{EA}} = 2\frac{{DM}}{{DA}}\).

Xét tam giác ABC với đường phân giác AD ta có: \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (Tính chất đường phân giác)

Xét tam giác ABG với đường phân giác AE ta có: \(\frac{{EB}}{{EG}} = \frac{{AB}}{{AG}}\)(Tính chất đường phân giác)

\( \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}}:\frac{{EB}}{{EG}} = \frac{{AB}}{{AC}}:\frac{{AB}}{{AG}} = \frac{{AG}}{{AC}}\) (đpcm)

Gọi giao điểm hai đường chéo của hình thoi là O.

Khi đó AC vuông góc với BD tại O.

Vì ABCD là hình thoi nên \(AB = AD\) hay tam giác ABD cân tại A.

Khi đó AO vừa là đường cao, vừa là phân giác của tam giác ABD.

Xét tam giác AMD với AN là đường phân giác, ta có:

\(\frac{{ND}}{{NM}} = \frac{{AD}}{{AM}}\,\,\left( 1 \right)\) (Tính chất đường phân giác)

Mà \(AB = 3AM \Rightarrow \frac{{AB}}{{AM}} = 3 \Rightarrow \frac{{AD}}{{AM}} = 3\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{ND}}{{NM}} = 3 \Rightarrow ND = 3NM\).

a)      Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\)

Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC nên ta có:

\(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (Tính chất đường phân giác trong tam giác)

\( \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{3}{4} \Rightarrow DB = \frac{3}{4}DC\)

Mà \(BD + CD = BC \Rightarrow \frac{3}{4}CD + CD = 5 \Rightarrow CD = \frac{{20}}{7}\)

\( \Rightarrow BD = 5 - \frac{{20}}{7} = \frac{{15}}{7}\).

b)     Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AC tại E. Khi đó DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng AC.

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}DE \bot AC\\AB \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow DE// AB\)

\( \Rightarrow \frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{DE}}{3} = \frac{{\frac{{20}}{7}}}{5} \Rightarrow DE = \frac{{12}}{7}\) (Tính chất đường phân giác)

c)      Xét tam giác ABC có \(DE// AB\) nên \(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) (Định lý Thales)

\( \Rightarrow \frac{{\frac{{15}}{7}}}{5} = \frac{{AE}}{4} \Rightarrow AE = \frac{{12}}{7}\)

Tam giác ADE vuông tại E nên ta có:

\(AD = \sqrt {A{E^2} + D{E^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{12}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{12}}{7}} \right)}^2}}  = \frac{{12\sqrt 2 }}{7}\)