Bài 3: Phương trình mặt cầu

a) Ta có \(I\left( {a;b;c} \right)\) và \(M\left( {x;y;z} \right)\). Suy ra \(IM = \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2}} \).

b) Điều kiện cần và đủ của \(x\), \(y\), \(z\) để điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) nằm trên mặt cầu \(S\left( {I;R} \right)\) là \(IM = R\), điều này tương đương với

\(\sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2}}  = R \Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {3; - 2; - 4} \right)\), bán kính \(R = 10\) có phương trình là

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 100\).

b) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(EF\), suy ra \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(EF\) và bán kính bằng \(\frac{{EF}}{2}\).

Ta có \(E\left( {3; - 1;8} \right)\) và \(F\left( {7; - 3;0} \right)\), suy ra \(I\left( {5; - 2;4} \right)\).

Ta có \(EF = \sqrt {{{\left( {3 - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {8 - 0} \right)}^2}}  = 2\sqrt {21} \), suy ra \(R = \frac{{EF}}{2} = \sqrt {21} \).

Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 21\).

c) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(M\) và đi qua \(N\), nên \(MN\) là một bán kính của \(\left( S \right)\).

Ta có \(MN = \sqrt {{{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {3 + 4} \right)}^2}}  = 9\).

Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 81\).

Phương trình bề mặt của quả bóng thám không là \({\left( {x - 300} \right)^2} + {\left( {y - 400} \right)^2} + {\left( {z - 2000} \right)^2} = 1\), suy ra quả bóng có tâm \(I\left( {300;400;2000} \right)\) và bán kính \(R = 1.\)

Khoảng cách từ tâm quả bóng đến mặt đất là

\(d = \frac{{\left| {0.300 + 0.400 + 1.2000 + 0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 2000\) (mét).

a)

i) Ta có

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + \left( {{z^2} - 6z + 9} \right) - 25 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\end{array}.\)

ii) Do điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) có toạ độ thoả mãn phương trình (*), suy ra điểm \(M\) thoả mãn phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\). Vậy điểm \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {25}  = 5\).

b) Ta có

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 15 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + \left( {{z^2} - 6z + 9} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} =  - 1\end{array}.\)

Do \( - 1 < 0\), nên phương trình trên không là phương trình mặt cầu. Suy ra (**) không là phương trình mặt cầu.

Các phương trình ở câu a và b đều là phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

a) Với phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4z - 32 = 0\), ta có \(a = 0\), \(b = 0\), \(c =  - 2\) và \(d =  - 32\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {0^2} + {0^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + 32 = 36 > 0\).

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4z - 32 = 0\) là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {0;0; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 6\).

b) Với phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0\), ta có \(a =  - 1\), \(b =  - 1\), \(c = 1\) và \(d = 4\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {1^2} - 4 =  - 1 < 0.\)

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0\) không là phương trình mặt cầu.

Phương trình của bề mặt bóng thám không là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), với \(a = 100\), \(b = 300\), \(c = 2{\rm{ 000}}\) và \(d = {\rm{4 099 900}}\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {100^2} + {300^2} + 2{\rm{ }}{000^2} - 4{\rm{ }}099{\rm{ }}900 = 100 > 0.\)

Vậy bóng thám không có tâm \(I\left( {100;300;2000} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {100}  = 10\).

Khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu chính là bán kính của mặt cầu đó.

Phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{8}x - \frac{1}{8}y - z + \frac{1}{{16}} = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - \frac{1}{{16}}\), \(b = \frac{1}{{16}}\), \(c = \frac{1}{2}\) và \(d = \frac{1}{{16}}\).

Suy ra bán kính của mặt cầu là \(R = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{{16}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{{16}}}  = \frac{{5\sqrt 2 }}{{16}}\).

a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {7; - 3;0} \right)\), bán kính \(R = 8\) có phương trình là

\({\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 64\)

b) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(M\) và đi qua \(N\), nên \(MN\) là một bán kính của \(\left( S \right)\).

Ta có \(MN = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {30} \).

Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 30\).

c) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\), suy ra \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\) và bán kính bằng \(\frac{{AB}}{2}\).

Ta có \(A\left( {4;6;8} \right)\) và \(B\left( {2;4;4} \right)\), suy ra \(I\left( {3;5;6} \right)\).

Ta có \(AB = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 4} \right)}^2} + {{\left( {8 - 4} \right)}^2}}  = 2\sqrt 6 \), suy ra \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 6 \).

Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 6.\)

a) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\) là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - \frac{5}{2}\), \(b = \frac{7}{2}\), \(c =  - \frac{1}{2}\) và \(d =  - 1\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = \frac{{79}}{4} > 0.\)

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {\frac{{ - 5}}{2};\frac{7}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{\sqrt {79} }}{2}\).

b) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\) là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - 2\), \(b =  - 3\), \(c = 1\) và \(d = 100\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + {1^2} - 100 =  - 86 < 0.\)

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\) không phải là phương trình mặt cầu.

c) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\) là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = b = c = \frac{1}{2}\) và \(d = \frac{1}{2}\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} > 0.\)

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {\frac{1}{4}}  = \frac{1}{2}\).