Bài 3. Hình thang - Hình thang cân

a và c là hai hình thang cân

Tham khảo:

a) i) \(ABCD\) là hình thang cân (gt)

\( \Rightarrow \widehat A = \widehat B\) (1) và \(DC\) // \(AE\)

Vì \(AD\;{\rm{//}}\;CE\) (gt)

\(\widehat A = \widehat {CEB}\) (cặp góc đồng vị)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {CEB} = \widehat B\)

Suy ra \(\Delta CEB\) là tam giác cân.

ii) \(\Delta CEB\) cân tại \(C\) (cmt)

Suy ra: \(CE = BC\) (3)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta CED\) ta có:

\(\widehat {{\rm{ADE}}} = \widehat {{\rm{CED}}}\) (\(AD\)// \(CE\), cặp góc so le trong)

\(DE\) chung

\(\widehat {{\rm{AED}}} = \widehat {{\rm{CDE}}}\) (\(CD\) // \(AB\), cặp góc so le trong)

Suy ra: \(\Delta ADE = \Delta CED\) (g-c-g)

Suy ra: \(AD = CE\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(AD = BC\)

b) Chứng minh tương tự như ý a) ta có: Hình thang cân \(MNPQ\) có hai cạnh bên \(MQ = NP\)

Xét tam giác \(\Delta MQP\) và \(\Delta NPQ\) ta có:

\(MQ = NP\) (cmt)

\(\widehat {{\rm{MQP}}} = \widehat {{\rm{NPQ}}}\) (do \(MNPQ\) là hình thang cân)

\(PQ\) chung

Suy ra: \(\Delta MQP = \Delta NPQ\) (c-g-c)

\( \Rightarrow MP = NQ\) (hai cạnh tương ứng)

a) Vì \(ABCD\) là hình thang cân (gt)

\( \Rightarrow AC = BD\) và \(AB\;{\rm{//}}\;CD\)

Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta CBE\) ta có:

\(\widehat {DCB} = \widehat {CBE}\) (do \(AB\) // \(CD\))

\(BC\) chung

\(\widehat {CBD} = \widehat {BCE}\) (do  \(CE\) // \(BD\))

Suy ra \(\Delta BCD = \Delta CBE\) (g-c-g)

Suy ra \(BD = CE\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(AC = BD\) (cmt)

Suy ra \(AC = EC\)

Suy ra \(\Delta CAE\) cân tại \(C\)

b) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta BAC\) ta có:

\(DA = BC\) (do \(ABCD\) là hình thang cân)

\(\widehat {DAB} = \widehat {CBA}\) (Do \(ABCD\) là hình thang cân)

\(AB\) chung

Suy ra \(\Delta ABD = \Delta BAC\) (c-g-c)

MNPQ là hình thang cân

=>MP=NQ và MQ=NP

a) Ta có:

\(\widehat {\rm{E}} + \widehat {\rm{F}} = 95^\circ  + 85^\circ  = 180^\circ \)

Mà hai góc ở vị trí Trong cùng phía

Suy ra \(EH\;{\rm{//}}\;FG\)

Suy ra: \(EFGH\) là hình thang

b) Xét hình thang \(EFGH\) ta có: \(\widehat E + \widehat F + \widehat G + \widehat H = 360^\circ \)

\(\begin{array}{l}95^\circ  + 85^\circ  + 27^\circ  + \widehat H = 360^\circ \\\widehat H = 153^\circ \end{array}\)

a) Hình thang \(MNPQ\) có \(\widehat Q = 90^\circ \) nên là hình thang vuông. Suy ra \(\widehat M = 90^\circ \)

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác, ta có: \(\widehat P = 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 90^\circ  + 125^\circ } \right) = 55^\circ \)

b) Hình thang \(MNPQ\) có \(\widehat P = \widehat Q = 110^\circ \) nên là hình thang cân.

Suy ra \(\widehat M = \widehat N = 180^\circ  - 110^\circ  = 70^\circ \)

AB//CD

Do ${ABCD}$ là hình thang cân (gt) nên \(\widehat A = \widehat B\)

Xét hình thang \(ABCD\) ta có: \(\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{C}} + \widehat {\rm{D}} = 360^\circ \)

\(\begin{array}{l}\widehat A + \widehat B + 75^\circ  + 75^\circ  = 360^\circ \\\widehat A + \widehat B = 210^\circ \end{array}\)   

Mà \(\widehat A = \widehat B\) (cmt)

Suy ra : \(\widehat {\rm{A}} = \widehat B = 105^\circ \)

Kẻ đường cao \(BK\)

Suy ra \(AH = BK\) và \(AHKB\) là hình chữ nhật

Suy ra \(HK = AB = 1\)cm

Vì \(ABCD\) là hình thang cân (gt)

\( \Rightarrow AC = BD\) và \(AD = BC\)  (tc)

Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta BKC\) ta có:

\(\widehat {{\rm{AHD}}} = \widehat {{\rm{BKC}}} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat D = \widehat C\) (định nghĩa hình thang cân)

\(AD = BC\) (tính chất hình thang cân)

Suy ra: \(\Delta AHD = \Delta BKC\) (ch – cgv)

Suy ra \(DH = KC\) (hai cạnh tương ứng)

Suy ra \(DH = KC = \frac{{CD - HK}}{2} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1\) (cm)

Suy ra \(HC = 2\) (cm)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(AHD\) ta có:

\(A{D^2} = D{H^2} + A{H^2} = {1^2} + {3^2} = 10\)

Suy ra \(AD = \sqrt {10} \) (cm)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(ACH\) ta có:

\(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} = {3^2} + {2^2} = 9 + 4 = 13\)

\(AC = \sqrt {13} \) (cm)

Vậy \(AC = BD = \sqrt {13} \)cm; \(AD = BC = \sqrt {10} \) cm