Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là Q₁(0; – 1; 0), Q₂\(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\), Q₃\(\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\) (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N.

Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực \(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}\) tác dụng lên giá đỡ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (Hình 36), cho hai vectơ

\(\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)\).

a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}.\)

b) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},m\overrightarrow{u}\left(m\in\text{ℝ}\right)\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}.\)

c) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},m\overrightarrow{u}\left(m\in\text{ℝ}\right)\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(x_A; y_A; _zA) và B(x_B; y_B; z_B). Gọi M(x_M; y_M; z_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

- Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{OM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\).

- Tính tọa độ của điểm M theo tọa độ của các điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B).

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G.

- Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{OG}\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}.\)

- Tính tọa độ của điểm G theo tọa độ của các điểm A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C).

 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right),\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right).\)

Hãy biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) theo ba vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) và tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\).

a) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), C'(1; 1; 1). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ vuông góc với cả hai vectơ

b) Cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)\) không cùng phương.

Xét vectơ \(\overrightarrow{w}=\left(y_1z_2-y_2z_1;z_1x_2-z_2x_1;x_1y_2-x_2y_1\right).\)

- Tính \(\overrightarrow{w}.\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}.\overrightarrow{v}\).

- Vectơ \(\overrightarrow{w}\) có vuông góc với các hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) hay không?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(1;0;-3\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left(0;0;3\right)\). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ \(\overrightarrow{w}\) khác \(\overrightarrow{0}\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\).