Bài 1. Giới hạn của dãy số

Giả sử các hình tròn bán kính \({R_1} = R,{R_2} = \frac{R}{2},{R_3} = \frac{R}{4} = \frac{R}{{{2^2}}},...,{R_n} = \frac{R}{{{2^{n - 1}}}},...\) có diện tích lần lượt là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = \pi R_1^2 = \pi {R^2},{u_2} = \pi R_2^2 = \pi {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2} = \pi {R^2}.\frac{1}{{{2^2}}},{u_3} = \pi R_3^2 = \pi {\left( {\frac{R}{{{2^2}}}} \right)^2} = \pi {R^2}.\frac{1}{{{2^4}}},...,\\{u_n} = \pi R_n^2 = \pi {\left( {\frac{R}{{{2^{n - 1}}}}} \right)^2} = \pi {R^2}.\frac{1}{{{2^{2n - 2}}}},...\end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \pi {R^2} + 2\pi {R^2}.\frac{1}{{{2^2}}} + 4.\pi {R^2}.\frac{1}{{{2^4}}} + ... + {2^{n + 1}}\pi {R^2}.\frac{1}{{{2^{2n - 2}}}} + ...\\\,\,\,\, = \pi {R^2} + \pi {R^2}.\frac{1}{2} + \pi {R^2}.\frac{1}{{{2^2}}} + ... + \pi {R^2}.\frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...\\\,\,\,\, = \pi {R^2}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...} \right)\end{array}\)

Xét tổng: \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...\)

Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\) nên: \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\).

Vậy \(S = \pi {R^2}.{S_n} = 2\pi {R^2}\).

a) Ta có: \({u_1} = {1^2};{u_2} = {2^2};{u_3} = {3^2};...;{u_n} = {n^2}\)

\(\begin{array}{l}{u_n} > 10000 \Leftrightarrow {n^2} > 10000 = {100^2} \Leftrightarrow n > 100\\{u_n} > 1000000 \Leftrightarrow {n^2} > 1000000 = {1000^2} \Leftrightarrow n > 1000\end{array}\)

b) \({u_n} > S \Leftrightarrow {n^2} > S \Leftrightarrow n > \sqrt S \).

Vậy với các số tự nhiên \(n > \sqrt S \) thì \({u_n} > S\).

a) \(\lim\limits3=3\) vì \(3\) là hằng số.

Áp dụng giới hạn cơ bản với \(k=2\), ta có:\(\lim\limits\dfrac{1}{n^2}=0\).

b) \(\lim\limits\left(3+\dfrac{1}{n^2}\right)=\lim\limits3+\lim\limits\dfrac{1}{n^2}=3\).

Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\) nên

\(1 + \frac{1}{3} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{3}{2}\).

a) \(\lim\limits\dfrac{2n^2+3n}{n^2+1}=\lim\limits\dfrac{n^2\left(2+\dfrac{3n}{n^2}\right)}{n^2\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)}=\lim\limits\dfrac{2+\dfrac{3}{n}}{1+\dfrac{1}{n^2}}=2\).

b) \(\lim\limits\dfrac{\sqrt{4n^2+3}}{n}\\ =\lim\limits\dfrac{\sqrt{n^2\left(4+\dfrac{3}{n^2}\right)}}{n}\\ =\lim\limits\dfrac{\sqrt[n]{4+\dfrac{3}{n^2}}}{n}\\ =\lim\limits\sqrt{4+\dfrac{3}{n^2}}\\ =2.\)

a) Đặt \({u_n} = 2 + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} \Leftrightarrow {u_n} - 2 = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\).

Suy ra \(\lim \left( {{u_n} - 2} \right) = \lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\)

Theo định nghĩa, ta có \(\lim {u_n} = 2\). Vậy \(\lim \left( {2 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right) = 2\)

b) Đặt \({u_n} = \frac{{1 - 4n}}{n} = \frac{1}{n} - 4 \Leftrightarrow {u_n} - \left( { - 4} \right) = \frac{1}{n}\).

Suy ra \(\lim \left( {{u_n} - \left( { - 4} \right)} \right) = \lim \frac{1}{n} = 0\).

Theo định nghĩa, ta có \(\lim {u_n} =  - 4\). Vậy \(\lim \left( {\frac{{1 - 4n}}{n}} \right) =  - 4\)

a: \(\lim\limits\left(\dfrac{1}{n^2}\right)=0\)

b: \(lim\left(-\dfrac{3}{4}\right)^n=0\)

a) \(n = 100 \Leftrightarrow \left| {{u_{100}}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{100}}}}{{100}}} \right| = \frac{1}{{100}} = 0,01\)

\(n = 1000 \Leftrightarrow \left| {{u_{1000}}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{1000}}}}{{1000}}} \right| = \frac{1}{{1000}} = 0,001\)

Như vậy ta có thể điền vào bảng như sau:

b) \(\left| {{u_n}} \right| < 0,01 \Leftrightarrow \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right| < 0,01 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < 0,01 \Leftrightarrow n > 100\)

Vậy \(\left| {{u_n}} \right| < 0,01\) khi \(n > 100\).

\(\left| {{u_n}} \right| < 0,001 \Leftrightarrow \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right| < 0,001 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < 0,001 \Leftrightarrow n > 1000\)

Vậy \(\left| {{u_n}} \right| < 0,001\) khi \(n > 1000\).

c) Dựa vào trục số ta thấy, khoảng cách từ điểm \({u_n}\) đến điểm 0 trở nên rất bé khi \(n\) trở nên rất lớn.

a) \({v_n} = {u_n} - 2 = \frac{{2n + 1}}{n} - 2 = \frac{{2n + 1 - 2n}}{n} = \frac{1}{n}\).

Áp dụng giới hạn cơ bản với \(k = 1\), ta có: \(\lim {v_n} = \lim \frac{1}{n} = 0\).

b) \({u_1} = \frac{{2.1 + 1}}{1} = 3,{u_2} = \frac{{2.2 + 1}}{2} = \frac{5}{2},{u_3} = \frac{{2.3 + 1}}{3} = \frac{7}{3},{u_4} = \frac{{2.4 + 1}}{4} = \frac{9}{4}\)

Biểu diễn trên trục số:

Nhận xét: Điểm \({u_n}\) càng dần đến điểm 2 khi \(n\) trở nên rất lớn.

a) Theo đề bài, ta thấy \(\left( {{u_k}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{2}\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Vậy \({u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}} = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{k - 1}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^k} = \frac{1}{{{2^k}}}\).

b) \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{2}\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Vậy \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \frac{1}{2}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{\frac{1}{2}}} = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).

c) \(\lim {S_n} = \lim \left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right) = \lim 1 - \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).

\(\lim 1 = 1\) vì 1 là hằng số.

\(\left| {\frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2} < 1\) nên \(\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\)

Vậy \(\lim {S_n} = \lim 1 - \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 1 - 0 = 1\)

Giới hạn này bằng diện tích của hình vuông ban đầu.