Bài 1. Định lí Thalès trong tam giác

Xét tam giác OAB có \(\frac{{OM}}{{MA}} = \frac{{ON}}{{NB}}\) (Định lý Thales)

Xét tam giác OBC có \(\frac{{OP}}{{PC}} = \frac{{ON}}{{NB}}\) (Định lý Thales)

Từ đó ta có \(\frac{{OM}}{{MA}} = \frac{{OP}}{{PC}}\).

Xét tam giác OAC với \(\frac{{OM}}{{MA}} = \frac{{OP}}{{PC}} \Rightarrow MP\parallel AC\) (Hệ quả của định lý Thales).

\(\left. \begin{array}{l}AC \bot A'B\\A'C' \bot A'B\end{array} \right\} \Rightarrow AC\parallel A'C'\)

Xét tam giác A’BC’ với \(AC\parallel A'C'\) có:

\(\frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BA}}{{BA'}}\) (Hệ quả của định lý Thales)

\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{1,5}}{{4,5}} = \frac{1}{3} \Rightarrow A'C' = 3AC = 6m\)

Vậy cây cao 6m.

a) \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{1,5}}{3} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\).

b) Qua B kẻ đường thẳng song song với đường thẳng d, cắt AC tại C’.

Xét ∆ABC’ với MN // BC’, ta có:

\( \frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC′}\) (định lí Thalès).

Mà theo câu a, \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\) nên ta có \(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{AN}{NC′}\)

Suy ra NC = NC’ hay C và C’ là hai điểm trùng nhau.

Do đó C nằm trên đường thẳng đi qua B và song song với đường thẳng d.

Vậy đường thẳng d (đi qua M, N) song song với BC.

a)      Vì \(d\parallel CD\) nên \(MP\parallel CD\)

Xét tam giác ADC với \(MP\parallel CD\) có: \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{AP}}{{PC}}\,\,\left( 1 \right)\) (Định lý Thales)

Vì \(d\parallel AB\) nên \(PN\parallel AB\)

Xét tam giác ABC với \(PN\parallel AB\) có: \(\frac{{BN}}{{NC}} = \frac{{AP}}{{PC}}\,\,\left( 2 \right)\) (Định lý Thales)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}\).

b)     Vì \(MD = 2MA\) nên \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}\)

Xét tam giác ADC với \(MP\parallel CD\) có: \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{MP}}{{DC}}\) (Hệ quả định lý Thales)

\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{DC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MP = \frac{1}{3}DC = 2cm\)

Vì \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AP}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{PC}}{{CA}} = \frac{2}{3}\)

Xét tam giác ABC với \(PN\parallel AB\) có: \(\frac{{CP}}{{CA}} = \frac{{PN}}{{AB}}\) (Hệ quả định lý Thales)

\( \Rightarrow \frac{{PN}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow PN = \frac{2}{3}AB = \frac{8}{3}cm\)

Mà \(MN = MP + PM = 2 + \frac{8}{3} = \frac{{14}}{3}cm\).

Xét tam giác ABC có

\(\begin{array}{l}\frac{{CM}}{{CA}} = \frac{1}{4}\\\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{1,25}}{5} = \frac{1}{4}\\ \Rightarrow \frac{{CM}}{{CA}} = \frac{{CN}}{{CB}}\end{array}\)

\( \Rightarrow MN\parallel AB\) (Định lý Thales đảo)

Mà \(AB \bot AC\) nên \(MN \bot AC\) hay tam giác MNC vuông tại M

Xét tam giác MNC vuông tại M có: \(MC = 1,\,\,NC = 1,25\).

Theo định lý Pytago ta có:

\(\begin{array}{l}M{N^2} + M{C^2} = N{C^2}\\\,\,\,\,\,\,\,M{N^2} + {1^2} = 1,{25^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,M{N^2} = 1,{25^2} - {1^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,M{N^2} = 0,5625\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,MN = 0,75\end{array}\)

Vậy MN = 0,75.

Gọi AD là đường trung tuyến của tam giác ABC (D \(\in\) BC)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = \(\frac{2}{3}\) AD hay \(\frac{AG}{AD} =\frac{2}{3}\) .

Xét tam giác ABD với MG // BD, ta có: 

\( \frac {AM}{AB} = \frac{AG}{AD} =\frac{2}{3}\) (Định lí Thales) (1)

Tương tự, xét 

tam giác ADC với GN // DC, ta có: 

\( \frac {AN}{AC} = \frac{AG}{AD} =\frac{2}{3}\) (Định lí Thales) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{2}{3} \) (đpcm).

a)      Quan sát hình ta thấy \(d\parallel BC\).

b)     Ta thấy:

Độ dài AM là 2 lần cạnh của một ô vuông.

Độ dài MB là cạnh của một ô vuông.

\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{2}{1} = 2\)

Độ dài AN là 2 lần đường chéo của một ô vuông.

Độ dài NC là độ dài đường chéo của một ô vuông.

\( \Rightarrow \frac{{AN}}{{NC}} = \frac{2}{1} = 2\)

Vậy \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\).

Ta có: \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{MN}}{{PQ}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Vậy \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{MN}}{{PQ}}\).

Xét tam giác ABC với \(MN\parallel BC\), ta có \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\) (định lý Thales).

Xét tam giác ABC có \(MN\parallel BC\) nên:

\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (Hệ quả của định lý Thales)

\( \Rightarrow \frac{3}{{4,5}} = \frac{{AN}}{6} \Rightarrow AN = 6.3:4,5 = 4cm\).