Câu hỏi của Hày Cưi

Question

Với x,y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

( y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)$\le$ xyz

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:
Vì $x,y,z$ là 3 cạnh tam giác nên $y+z-x; z+x-y; x+y-z>0$

Áp dụng BĐT Cauchy ngược dấu ta có:

$(y+z-x)(z+x-y)\leq \left(\frac{y+z-x+z+x-y}{2}\right)^2=z^2$

$(y+z-x)(x+y-z)\leq \left(\frac{y+z-x+x+y-z}{2}\right)^2=y^2$

$(z+x-y)(x+y-z)\leq \left(\frac{z+x-y+x+y-z}{2}\right)^2=x^2$

Nhân theo vế và rút gọn ta thu được:

$(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\leq xyz$ (đpcm)Câu trả lời: Lời giải:
Vì $x,y,z$ là 3 cạnh tam giác nên $y+z-x; z+x-y; x+y-z>0$

Áp dụng BĐT Cauchy ngược dấu ta có:

$(y+z-x)(z+x-y)\leq \left(\frac{y+z-x+z+x-y}{2}\right)^2=z^2$

$(y+z-x)(x+y-z)\leq \left(\frac{y+z-x+x+y-z}{2}\right)^2=y^2$

$(z+x-y)(x+y-z)\leq \left(\frac{z+x-y+x+y-z}{2}\right)^2=x^2$

Nhân theo vế và rút gọn ta thu được:

$(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\leq xyz$ (đpcm)

Violympic toán 9