Question

Tính tổng các nghiệm nguyên thuộc [-5;5] của bất phương trình \(\sqrt{x^2-9}\left(\frac{3x-1}{x+5}\right)\le x\sqrt{x^2-9}\)

Answer 1

ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge3\\x\le-3\end{matrix}\right.\); \(x\ne-5\)

Nhận thấy \(x=\pm3\) là 2 nghiệm của BPT đã cho

- Với \(x\ne\pm3\), do \(\sqrt{x^2-9}>0\), chia 2 vế của BPT cho \(\sqrt{x^2-9}\) được:

\(\frac{3x-1}{x+5}\le x\Leftrightarrow\frac{3x-1}{x+5}-x\le0\Leftrightarrow\frac{3x-1-x\left(x+5\right)}{x}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-x^2-2x-1}{x}\le0\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)^2}{x}\ge0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>0\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Kết hợp điều kiện xác định ta được: \(\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x\ge3\end{matrix}\right.\)

Mà \(x\in\left[-5;5\right]\Rightarrow x=\left\{-3;-1;3;4;5\right\}\)

\(\Rightarrow\sum x=8\)