Bài 1: Giới hạn của dãy số

PN

Tính:

 \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x+x^2+...+x^n-n}{x-1}\)

HH
16 tháng 2 2021 lúc 17:10

Có 2 cách làm

Cách 1: Phân tích bình thường

\(x+x^2+...+x^n-n=\left(x-1\right)+\left(x^2-1\right)+...+\left(x^n-1\right)\)

\(=\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)+\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+....+\left(x-1\right)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(1+x+1+x^2+x+1+...+x^{n-1}+x^{n-2}+...+1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(1.n+\left(n-1\right)x+\left(n-2\right)x^2+...+\left(n-n+2\right)x^{n-2}+\left(n-n+1\right)x^{n-1}\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(n+\left(n-1\right)x+\left(n-2\right)x^2+...+2x^{n-2}+x^{n-1}\right)\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x+x^2+...+x^n-n}{x-1}=\dfrac{\left(x-1\right)\left[n+\left(n-1\right)x+\left(n-2\right)x^2+...+2x^{n-2}+x^{n-1}\right]}{x-1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left[n+\left(n-1\right)x+\left(n-2\right)x^2+...+2x^{n-2}+x^{n-1}\right]\)

\(=n+\left(n-1\right)+\left(n-2\right)+...+2+1=1+2+...+\left(n-1\right)+\left(n-2\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Cách 2: Sử dụng L'Hospital

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x+x^2+...+x^n-n}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}}{1}=1+2.1+3.1+...+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
JE
Xem chi tiết
JE
Xem chi tiết
JE
Xem chi tiết
JE
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
JE
Xem chi tiết