Lời giải:
Với những dạng như thế này bạn có thể thực hiện chia cả 2 vế cho $x^2$, sẽ ra những kết quả rất đẹp.
\(\int \frac{x^2-1}{x^4+1}dx=\int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx=\int \frac{d\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^2+\frac{1}{x^2}}\)
\(=\int \frac{d\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}=\int \frac{dt}{t^2-2}\) (đặt \(t=x+\frac{1}{x}\))
\(=\int \frac{dt}{(t-\sqrt{2})(t+\sqrt{2})}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int \left(\frac{1}{t-\sqrt{2}}-\frac{1}{t+\sqrt{2}}\right)dt\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\ln |t-\sqrt{2}|-\ln |t+\sqrt{2}|\right)+c\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln |\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}|+c=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln |\frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}|+c\)
