Ta có: x4 - x2 + 2x + 2
= (x4 - 2x2 + 1) + (x2 + 2x + 1)
= (x2 - 1)2 + (x + 1)2
= [(x - 1)(x + 1)]2 + (x + 1)2
= (x - 1)2(x + 1)2 + (x + 1)2
= (x + 1)2[(x - 1)2 + 1]
Vì (x + 1)2; (x + 1)2[(x - 1)2 + 1] là số chính phương do x4 - x2 + 2x + 2 nên (x - 1)2 + 1 là số chính phương
=> (x - 1)2 + 1 = n2 (n \(\in N\))
<=> (x - 1)2 - n2 = -1
<=> (x - 1 - n)(x - 1 + n) = -1 (1)
Vì x;n thuộc Z nên x - 1 - n; x - 1 + n là ước nguyên của -1 (2)
Lại có: x - 1 - n \(\le\) x - 1 + n do \(n\in N\) (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}x-1-n=-1\\x-1+n=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-n=0\\\left(x-1-n\right)+\left(x-1+n\right)=-1+1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=n\\2x-2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=n\\2x=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1=n\\x=1\end{matrix}\right.\)
Thử lại 14 - 12 + 2.1 + 2 = 4, là số chính phương
Vậy x = 1 là giá trị cần tìm