Question

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình \(3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{x^2-1}\) có hai nghiệm thực

Answer 1

ĐKXĐ: \(x\ge1\)

Chia 2 vế của pt cho \(\sqrt{x+1}\) ta được:

\(3\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+m=2\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}\)

Đặt \(\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}=t\Rightarrow0\le t< 1\)

\(\Rightarrow3t^2+m=2t\Leftrightarrow m=-3t^2+2t\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-3t^2+2t\) trên \([0;1)\)

\(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{3}\) ; \(f\left(0\right)=0\) ; \(f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\) ; \(f\left(1\right)=-1\)

\(\Rightarrow\) Pt có 2 nghiệm thực khi và chỉ khi \(0\le m< \frac{1}{3}\)